-+

Тема урока: Теорема Безу. Корни многочленов.

Цель урока: Познакомить учащихся с методом решения уравнений, основанном на применении теоремы Безу. Научить использовать его при решении уравнений.

Задачи: вырабатывается умение: логически мыслить, анализировать, решать уравнения высших степеней.

Ход урока

1. Проверить усвоение изученного.

Повторить алгоритм деления многочлена на многочлен.

а) Выполнить деление:

(х³-4х²-11х+30): (х-2)

б) Найти значение многочлена

х³-4х²-11х+30 при х=2

в) Выполнить деление

(х³-4х²-11х+30): (х-3)

г) Найти значение многочлена

х³-4х²-11х+30 при х=3

2. Изучение нового материала

Любой многочлен R(x) можно представить в виде:

P(x)= (х-а) Q(х) + r, где r=P(a)

Пример 1. Найти остаток от деления х⁴-6х³+8 на х+2

Теорема Безу. Если уравнение а₀хⁿ + a₁x^n-1+ … + a_n-1x+a_n = 0,

где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.

Пример 2. Решите уравнение

х³-8х²+19х-12=0

Свободный член – 12 имеет делители 1, 2,  3, 4, 6, 12.

При x=1 значение многочлена равно 0. Это означает, что 1 является корнем уравнения, а х³-8х²+19х-12 делится на x-1.

Выполнив деление, получим уравнение х²-7х+12=0 , решая которое, получим что x=3 или x=4.

Ответ: 1; 3; 4.

Сформулировать обобщенную теорему Безу

3. Решение задач.

1) Решить уравнения:

а) х³-3х²-4х+12=0,

б) х³+4х²+5х+2=0,

в) х⁴+4х³+х²-12х-12=0,

г) х⁴+4х³-х²-16х-12=0.

2) Доказать, что уравнение не имеет целых корней:

а) х²-х-1=0,

б) х⁴-5х²+6=0,

в) х⁴+х³+х²+х+1=0.

3) Уравнение х³+17х²+bх-17=0 имеет три различных целях корня. Найти b

4. Итоги урока.

Какие уравнения можно решить с помощью теоремы Безу? Можно ли решить уравнение этим методом, если коэффициенты дробные? Какие еще методы применяются при решении таких уравнений?

Домашнее задание. Выучить теорему Безу.

1) Решить уравнение:

а) х³+3х²-5х-10=0,

б) х⁴-5х³+11х²-25х+30=0,

в) х⁴+3х²-3х³+12х-28=0.

2) Решить уравнение двумя способами:

а) х³-5х²-4х+20=0,

б) х³-3х²-3х+1=0,

в) 6х⁴-35х³+62х²-35х+6=0.

Индивидуальное задание: изучить схему Горнера и на следующем уроке сделать сообщение.

Тема урока: Дробно-рациональные уравнения.

Цель урока: Познакомить учащихся с различными методами решения дробно-рациональных уравнений. Научить правильно выбирать метод решения уравнений.

Задачи: выработать умение: логически мыслить, анализировать, пользоваться методом интервалов.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

Проверить решение двух уравнений:

а) ,

уравнение решается по общей схеме.

Вопрос: как лучше выполнить умножение (х-2)²(х+2)².

Выбрать более простой способ.

б) .

Вопрос: можно ли это уравнение с помощью замены привести к уравнению вида а)?

2. Изучение нового материала.

Рассмотреть на примерах различные методы решения дробно-рациональных уравнений.

1) Общая схема решения уравнения: . Уравнение равносильно системе:

Пример 1. Решить уравнение:

2) Метод замены переменных.

имерППППппрррПример 2. Решить уравнение:

Замена приводит к квадратному уравнению , которое имеет корни: t₁=0,5; t₂=2. Решая далее уравнения:

и ,

получим корни заданного уравнения: ; ; 1; 4.

3) Применение основного свойства дроби

Пример 3. Решить уравнение

Замечаем, что повторяется выражение x²+15, но замена: t= x²+15 не приводит к более простому уравнению.

Проверим, что 0 не является решением уравнения и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x. Получим уравнение:

Далее делаем замену: и получаем уравнение:

Откуда t=7 или t=14. Решая уравнения:

и , получим корни уравнения: и .

Заметим, что если 0 является решением, то его следует записать в ответ.