Устойчивость и сходимость
Наряду с локальной погрешностью важны понятия глобальной погрешности и устойчивости по начальным данным, которые характеризуют поведение погрешности на всем интервале интегрирования, а также понятие сходимости, которое описывает поведение разностной схемы при .
Устойчивость по начальным данным диф.уравнения – критерий того, что ошибка, допущенная в начальных данных, не возрастает при удалении от начальной точки: если в уравнении правая часть такова, что , то , где решение с начальными данными , а - с .
Устойчивость разностных схем (РС) (формул численного интегрирования дифференциальных уравнений) определяется устойчивостью численных решений на модельном уравнении:
разностная схема устойчива, если
Модельное уравнение для исследования устойчивости разностных схем
получается из исходного формальной заменой
где
Разностная схема безусловно устойчива, если условие выполняется при любых .
Если условие выполняется на некотором интервале изменения , то схема условно устойчива
Сходимость
Обозначим , . Можно получить равномерную оценку погрешности интегрирования задачи Коши на интервале -
где
— погрешность начальных данных
— локальная погрешность формулы на -м шаге
— погрешности округлений на шаге с номером
На основании этой оценки можно утверждать, что если выполняются условия:
то приближенное решение задачи Коши, полученное одношаговым методом, равномерно на отрезке сходится к точному решению этой задачи.
Но
условия 1) и 3) не выполняются
оценки очень завышены