Итерационное уточнение решения слау

◙ Алгоритм

• Факторизовать матрицу с обычной точностью

• Решить СЛАУ с обычной точностью

• Вычислить для до требуемого уточнения

4. невязку с повышенной точностью

5. решить СЛАУ с обычной точностью

6. уточнить решение с обыч. точностью

Качественное обоснование

4 Дифференциальные уравнения Задача Коши для оду

Одношаговые методы решения задачи Коши для ОДУ. Сходимость одношаговых методов.

Одношаговые методы характеризуется тем, задача Коши на интервале

решается последовательным применением одной и той же (шаговой) процедуры на подынтервалах , причем для каждого нового подынтервала используется только одно (последнее) из ранее найденных значений.

Наиболее часто используемым одношаговым методом является метод Рунге-Кутта, основанный на построении формулы приближенного интегрирования для вычисления приращения искомой функции на одном шаге

где

Если аналогична кв.ф-ле Ньютона-Котесса, то - есть к-во узлов, и точность приближенного интегрирования должна расти при увеличении .

В отличие от стандартных кв.ф-л, в подынтегральная функция не может быть вычислена непосредственно.

Введем три набора параметров

Для построения правила интегрирования вводятся параметризованные функции

подбирают параметры так, чтобы в сумме можно было заменить

и рассматривать как квадратурную сумму

Подбор параметров выполняют так, чтобы локальная погрешность вычисления по правилу была минимальной для заданного к-ва членов суммы

т.е. чтобы выполнялось равенство

для возможно более высокого , которое называют порядком метода

Обычно такая процедура выбора приводит к недоопределенным системам уравнений и позволяет некоторые параметры задать произвольно. Таким образом получают параметрическое семейство формул одного порядка.

Простейшими формулами Р-К являются

• формула Эйлера – метод первого порядка

с локальной погрешностью

• метод второго порядка с параметрами определяемыми из сисстемы уравнений

Выбирая произвольно, например, получим следующее шаговое правило

Наиболее употребителны методы четвертого порядка.

Метод р-к с контролем погрешности на шаге

Способ определения априорной погрешности на шаге в виде удобен для вычисления апостериорной оценки погрешности (оценки Рунге) и уменьшению погрешности методом Ромберга

Метод двойного просчета по формуле порядка , используя шаги и

1) Выполним расчет значения в точке , используя шаг

, исходя из известного (можно считать точного) решения в

точке

2) Выполним расчет значения в точке , используя дважды шаг ,

или

разность -

откуда

и подставляя в получаем апостериорную оценку погрешности по Рунге

Если в разложении с учетом погрешность представить в виде

и учесть, что вычислено приближенное значение , то

то получим уточненное значение с поправкой по Ромбергу

вычисленое с локальной погрешностью

как если бы использовался метод на единицу по порядку выше, чем исходное правило интегрирования.