2.4 Методы сглаживания временных рядов
Очень часто уровни экономических рядов динамики колеблются, при этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.
Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики– на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образовании одномерных временных рядов. Использование метода экстраполяции для прогнозирования базируется на двух предположениях:
временной ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;
общее условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения.
2.4.1 Выравнивание по ряду Фурье
Отдельное место в аналитическом выравнивание рядов динамики занимает сглаживание при помощи ряда Фурье, который описывается уравнением:
,
(2.16)
где k – степень точности гармоник (чаще всего от 1до 4);
t – время, выраженное в радианах или градусах.
Сглаживание по приведенной формуле уместно, когда в эмперическом ряду имеется явная переодичность изменений его уровней, которая имеет вид синусоидных колебаний, что является гармоническими колебаниями. Синусоиды, полученные впоследствии сглаживания рядом Фурье, называют гармониками случайных порядков.
В случае сглаживания рядом Фурье переодические колебания уровней динамического ряда имеют вид суммы нескольких гармоник, наслоенных одна на одну. Так, при k=1 уравнение Фурье имеет вид
.
(2.17)
При k=2 соответственно:
,
(2.18)
и т.д.
Сглаживание по ряду Фурье чаще всего используют для наблюдения сезонности разных социально-экономических явлений и процессов.
Параметры уравнения теоретических уровней определяют способом наименьших квадратов.
В результате преобразований, получаем систему нормальных уровнений, по которым можно вычислить параметры
;
(2.19)
;
(2.20)
.
(2.21)
Аналогично разчитывают уравнения ряда Фурье с применением второй, третей и четвертой гармоники с проверкой совпадений их теоретических и фактических значений [10].