§ 1. Постановка задач и единственность их решений

Пусть замкнутая достаточно гладкая поверхность. Обозначим через область, ограниченную этой поверхностью, а через бесконечную область, внешнюю по отношению к , также ограниченную поверхностью .

Рассмотрим четыре задачи:

1. Внутренняя задача Дирихле. Найти функцию , гармоническую в , при условии

.

2. Внешняя задача Дирихле. Найти функцию , гармоническую в при условиях:

а) ,

б) .

3. Внутренняя задача Неймана. Найти функцию , гармоническую в , при условии

.

4. Внешняя задача Неймана. Найти функцию, гармоническую в , при условиях:

а)

б)

Прежде чем намечать пути решения этих задач, займемся их исследованием.

Теорема 1. Решение задачи Дирихле, внутренней или внешней, единственно.

Доказательство. Рассмотрим сначало внутреннюю задачу Дирихле. Предположим, что существуют два решения и одной и той же задачи Дирихле. Тогда из разность

будет гармонической функцией, равной нулю на . Отсюда из принципа максимума следует. что т.е. во всей области , так как в противном случае она должна была бы достигать внутри области положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего значения, что невозможно.

Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле. Как и выше, предположим, что существуют два решения и . Тогда из разность будет гармонической функцией, равной нулю на и при , т.е. для любого можно указать такое , что при . Пусть произвольная точка бесконечной области . Проведем сферу с центром в начале координат и радиусом столь большим, чтобы точка и поверхность лежали внутри этой сферы. Тогда , что следует из теоремы о максимуме и минимуме, примененной к конечной области, заключенной между и . В силу произвольности заключаем, что , а так как любая точка области , то в , т.е. .

Теорема 2. Решение внешней задачи Неймана, имеющее непрерывные вплоть до границы производные первого порядка, единственно, решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до произвольной постоянной.

Доказательство. Рассмотрим сначала внутреннюю задачуНеймана. Пусть и два решения задачи Неймана в области с границей . Удовлетворяющие одному и тому же граничному условию

.

Тогда из разность будет гармонической функцией внутри области , для которой при .

Воспользуемся первой формулой Грина для гармонических функций

.

Правая часть равна нулю, значит, и левая часть равна нулю. Тогда в силу непрерывности функции и ее первых производных следует, что

.

т.е. , что и требовалось доказать.

Отметим, что внутренняя задача Неймана не всегда разрешима. Для ее разрешимости необходимо, чтобы

.

Необходимость вытекает из свойства гармонических функций (см. Лекцию №19). Для рассмотрения внешней задачи возьмем сферу радиуса , где достаточно большое число, и пусть объем, заключенный между и . Далее пусть и - два решения внешней задачи Неймана, удовлетворяющие одному и тому же граничному условию. Тогда их разность есть гармоническая функция в бесконечной области для которой

. (1)

Теперь, применяя формулу Грина для гармонических функций к области , получим

или в силу (1),

. (2)

В силу оценок (1) имеем

.

Тогда из (2) получаем, что при достаточно большом имеем

при любом , что возможно лишь при условии

.

Значить, так как при то , т.е. .