Окружность.

Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r имеет вид:

( 3 )

Например:

, значит радиус окружности r = 4.

,

значит радиус окружности .

Уравнение окружности с центром в точке C(x₀, y₀ ) и радиусом r имеет вид:

( 4 )

Чтобы написать общее уравнение окружности в виде ( 4 ), нужно воспользоваться

методом выделения полного квадрата (см. приложение).

Пример 1:

Написать уравнение окружности с центром

в точке и радиусом, равным 2.

Решение.

По уравнению (x - a)² + (y - b)² = r², полагая в нем

a = -3, b = 1, r = 2, сразу имеем (x - 2)² + (y + 3)² = 36, или x² + y² - 4x + 6y - 23 = 0.

Пример 2: Показать, что x² + y² + 4x -6y -3 = 0 есть уравнение окружности. Найти ее радиус.

Решение.

Заданное уравнение преобразуем к виду (x - a)² + (y - b)² = r².   (4)

Выпишем члены, содержащие только x, и члены, содержащие только y.

Л егко проверить, что x² + 4x = (x + 2)² - 4,

y² - 6y = (y - 3)² - 9.

Левая часть уравнения запишется теперь так:

или отсюда (x + 2)² + (y - 3)² = 16.   

Координаты центра окружности – это числа,

которые отнимаются от переменных и .

От y отнимается число 3, значит вторая координата центра окружности y₀ = 3.

В первых скобках написано выражение ( x + 2 ). Запишем его в виде разности: .

Значит от переменной x отнимается число ( - 2 ). Итак, первая координата центра

окружности . Мы получили координаты центра окружности C(-2, 3). r² = 16,

следовательно радиус окружности r = 4.

П ример 3: Нужно начертить окружность .

Выделив полный квадрат, получим уравнение

или

и окончательно: .

Сравнивая полученное уравнение с уравнением ( 4 ), заключаем,

что уравнение определяет окружность, радиус которой равен ,

а центр имеет координаты С ( - 3 ; 4 ).

П ример 4:

Дано уравнение x² + y² - 2x + 6y + 6 = 0 .

Решение. Выделив полные квадраты, получим уравнение

Итак, центр окружности С ( 1; -3), а радиус равен 2.

Примеры.

• Уравнение x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 приводится к виду ( x – 3 ) ² + ( y + 2 ) ² = 25

и определяет окружность радиуса R = 5 с центром в точке С( - 3; 2 ).

• Уравнение x² + y² – 8 x + 16 = 0 приводится к виду ( x -4 ) ² + y ² = 0

и определяет единственную точку С ( 4; 0 ).

• Уравнение x² + y² - 4x + 12y + 49 = 0 приводится к виду ( x -2 ) ² + ( y + 6 ) ² = – 9

и никакой вещественной кривой не определяет (мнимая окружность).