МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

РАСЧЁТНО - ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА»

Для выполнения расчётно-графической работы необходимо:

• Для центрированных кривых.

1. Выписать уравнение кривой второго порядка (выдаётся преподавателем);

2. Определить и написать тип кривой второго порядка.

3. Привести уравнение кривой к каноническому виду;

4. Выписать параметры a, b.

5. Определить ось, на которой будут расположены фокусы.

6. Выписать координаты вершин.

7. Вычислить и выписать фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр и

коэффициент сжатия.

8. Выписать координаты фокусов.

9. Написать уравнения директрис.

10. Изобразить полученную линию второго порядка, а также фокусы и

директрисы (для гиперболы – и асимптоты).

Оформление расчётно-графической работы:

1. Титульный лист должен содержать:

• наименование выполняемой работы,

• вариант,

• номер группы,

• фамилию и.о. студента,

• дату выполнения работы.

2. Работа выполняется двойных листках в клетку.

3. График чертится карандашом, аккуратно.

Должны быть подписаны оси, указан масштаб (выбирается самостоятельно), отмечены вершины, фокусы.

4. Директрисы и асимптоты гиперболы - начерчены другим цветом и рядом написаны их уравнения.

Кривые второго порядка.

Определение 1: Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:

( 1 )

где - постоянные действительные числа.

Уравнение (1) называется общим уравнением кривой второго порядка.

Мы будем рассматривать уравнения, в которых коэффициент .

( 2 )

Если не существует точек с действительными координатами, удовлетворяющми уравнению (1), то говорят, что уравнение ( 1 ) определяет мнимую кривую второго порядка.

Уравнение x² + y² = −1 может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую, в данном случае мнимую окружность.

НАПРИМЕР:

1. В уравнении присутствует только одна переменная во 2-й степени. Следовательно это уравнение параболы.

1. В этом уравнении - тоже только одна переменная во 2-й степени. Следовательно это тоже уравнение параболы.

.

1. В этом уравнении присутствуют обе переменные во 2-й степени (это уравнение

не является уравнением параболы).

2. Сравним знаки перед . Знаки различные, следовательно это уравнение

гиперболы.

.

1. В данном уравнении - обе переменные во 2-й степени (это уравнение не является уравнением параболы).

2. Сравним знаки перед . Они различные, значит это уравнение тоже

описывает гиперболу.

.

1. В этом уравнении присутствуют обе переменные во 2-й степени (следовательно уравнение не является уравнением параболы).

2. Сравним знаки перед . Знаки одинаковые (это уравнение не является уравнением гиперболы).

3. Сравним коэффициенты перед .Они различные, следовательно это уравнение эллипса.

1. Обе переменные - во 2-й степени (следовательно это не парабола).

2. Сравним знаки перед . Они одинаковые (следовательно это не гипербола).

3. Сравним коэффициенты перед . Они различные, значит это тоже эллипс.

.

1. Здесь обе переменные во 2-й степени (следовательно это не парабола).

2. Сравним знаки перед . Они одинаковые (следовательно это не гипербола).

3. Сравним коэффициенты перед . Они тоже одинаковые, следовательно это уравнение описывает окружность.

.

1. Здесь обе переменные во 2-й степени (следовательно это не парабола) .

2. Сравним знаки перед . Они одинаковые (следовательно это не гипербола).

3. Сравним коэффициенты перед . Они тоже одинаковые, значит это окружность.

1. x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0

2. 4x² + 4y² + 2x -16 = 0

3. - x² - y² + 4x + 2y -6 = 0

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Ответы: 1-4 – окружность; 5-8 – эллипс; 9;10 – гипербола; 11 – 14 – парабола.

Э ллипс.

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению , где .

Это уравнение является каноническим уравнением эллипса.

Построение эллипса.

Р ассмотрим случай, когда .

От начала координат вправо и влево по оси отложим величину, равную . Полученные точки обозначим буквами и .

Вверх и вниз от начала координат вдоль оси отложим величину, равную . Полученные точки обозначим буквами и .

Через точки проведем прямые, параллельные осям координат.

В полученный прямоугольник впишем эллипс. Точки - называются вершинами эллипса. Они имеют координаты: ; ; ; . Отрезки между вершинами называются большой и малой осями эллипса. Отрезки между началом координат и вершинами называются большой и малой полуосями эллипса. В данном случае большой осью эллипса называется отрезок , а малой осью - . Большой полуосью эллипса называется отрезок , а малой полносью - .

Ф окусами эллипса называются точки и , расположенные на большой оси на одинаковом расстоянии от начала координат. Координаты фокусов: и , где - расстояние от начала координат до каждого из фокусов: .

Величины связаны равенством: или . Фокусное расстояние (расстояние между фокусами) .

Эксцентриситет.

Эксцентриситет эллипса равен отношению фокусного расстояния к длине большой оси: . Так как у эллипса , то эксцентриситет эллипса меньше единицы .

Эксцентриситет эллипса показывает степень «вытянутости» эллипса. Чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс. При очень малом числа почти равны и эллипс напоминает окружность. В предельном случае, когда , т. е. когда эллипс обращается в окружность, его эксцентриситет обращается в 0.

Ф окальными радиусы.

Возьмем произвольную точку , принадлежащую эллипсу и проведем отрезки, соединяющие эту точку с каждым из фокусов: . Эти отрезки называются фокальными радиусами и обозначаются .

Свойство 1: . Это - характеристическое свойство эллипса: сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов – величина постоянная и равна длине большой оси .

Длины фокальных радиусов: .

Директрисы.

Д иректрисы – 2 прямые, перпендикулярные большой оси и симметричные относительно начала координат. Директрисы обозначаются и . Уравнения директрис: . Директрису и фокус, лежащие по одну сторону от центра, будем называть соответствующими друг другу.

С войство 2:

• Возьмем на линии произвольную точку и проведем

из нее 2 отрезка:

- до фокуса (фокальный радиус)

- до директрисы .

• Найдем длины этих отрезков.

• Эксцентриситет равен отношению расстояния от точки М до фокуса к расстоянию от точки М до соответствующей директрисы: .

Эксцентриситет есть величина постоянная. Для эллипса .

Ф окальная хорда.

Через точки, в которых расположены фокусы эллипса проведем прямые, перпендикулярные большой оси. Точки пересечения эллипса с этими прямыми обозначим буквами Получившиеся отрезки и называются фокальными хордами и обозначаются , где - фокальный параметр.

Ф окальный параметр.

Фокальным параметром называется половина длины фокальной хорды. Он вычисляется по формуле:

Коэффициент сжатия.

О тношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связяны между собой соотношением: . Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю.

• Сжатие.

Величина, равная называется сжатием эллипса.

• Радиус эллипса.

Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле , где  — угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.

• Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.

• Если для точки выполняется условие , то она находится вгутри эллипса. Если выпонено , то снаружи.

• Для эллипса оси координат являются осями симметрии, а начало координат – центром симметрии.

  • Пользуясь определением эллипса, его легко построить непрерывным движением карандаша. Для этого берём нерастяжимую нить длиной, равной большой оси эллипса, т.е. длиной 2а, и закрепляем концы этой нити в фокусах, положение которых предполагается известным. Натягиваем нить карандашом и остриём его описываем кривую, держа нить всё время в натянутом состоянии. Кривая, описываемая при этом – эллипс, так как сумма расстояний от любой точки этой кривой до фокусов равна длине нити, т.е. равна постоянной величине.

  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

  • Если — фокусы эллипса, то для любой точки принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой равен углу между этой касательной и прямой .

Оптические свойства:

• Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.

• Свет от источника, находящегося вне любого фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.

Данное свойство имеет достаточно простой физический смысл. Если из одного фокуса выходит в плоскости эллипса луч света, то отразившись от самого эллипса, он обязательно пройдет через другой фокус. Возьмем поверхность, образованную вращением эллипса вокруг большой оси, и будем считать, что внутри она зеркальная. В один из фокусов поместим источник света. Тогда все лучи, выходящие из источника, отражаясь от поверхности, пройдут через другой фокус, то есть освещенность в обоих фокусах будет одинаковой.

Эллипс - фигура, состоящую из всех тех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек  и  (называемых фокусами эллипса) является постоянной величиной, обычно обозначаемой через . 

З ная определение эллипса, можно сделать простейший прибор, вычерчивающий эллипс. Для этого надо связать две булавки ниткой и воткнуть их в чертежную доску (рис. 2), взять карандаш и двигать его по бумаге так, чтобы грифель карандаша все время натягивал нитку. Тогда кончик грифеля будет рисовать на бумаге эллипс.

Этот способ с успехом используют, садовники при изго­товлении цветочных эллиптических клумб. Вместо кнопок в землю вты­кают два кола, кольцо делается из толстой веревки, а эллипс вычерчи­вается на земле не карандашом, а палкой .

Оптическое свойство эллипса лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Лабораторная работа. Укажем способ получения эллипса из листа бумаги. Вырежем из бумаги большой круг и в любом его месте, отличном от центра, поставим точку F. Сложим круг так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F’ окружности круга, и на бумаге обра­зовалась линия сгиба a . Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FF’ и, следовательно, касательной к эллипсу. Разогнем круг и снова согнем его, совместив точку с другой точкой окружности круга. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к эллипсу. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму эллипса.

Р ассмотрим случай, когда .

От начала координат вправо и влево по оси отложим величину, равную . Полученные точки обозначим буквами и .

Вверх и вниз от начала координат вдоль оси отложим величину, равную . Полученные точки обозначим буквами и .

Через полученные точки проведем прямые, параллельные осям координат.

В полученный прямоугольник впишем эллипс. Точки - называются вершинами эллипса. Они имеют координаты: ; ; ; .

Большой осью эллипса называется отрезок , а малой осью - . Большой полуосью эллипса называется отрезок , а малой полносью - .

Фокусами эллипса имеют координатами и , где : . Величины связаны равенством: .

Характеристическое свойство эллипса: .

Эксцентриситет эллипса равен отношению фокусного расстояния к длине большой оси: . Так как у эллипса , то эксцентриситет эллипса меньше единицы.

Уравнения директрис: .

_Пример 1: Дан эллипс

_{Написать каноническое уравнение эллипса, определить длину его осей, выписать координаты его вершин и фокусов, эксцентриситет, начертить эллипс, директрисы эллипса и написать их уравнения.}

_{Решение:} Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

_{Перенесем свободный член в правую часть равенства}

_{и разделим на него левую и правую части равенства}

_{После сокращения получим каноническое уравнение эллипса: или .}

_{Находим . .}

_{длина большой оси: . Длина малой оси: .}

_{Координаты вершин:}

_.

_{. .}

_{Координаты фокусов:}

_{Эксцентриситет вычислим по формуле:}

Фокальный параметр: вычисляется по формуле:

_{Коэффициент сжатия:}

Уравнения директрис: .

П ример 2: Дан эллипс

_{Написать каноническое уравнение эллипса,}

_{определить длину его осей, выписать координаты его вершин и фокусов, эксцентриситет, фокальный параметр, начертить эллипс, директрисы эллипса и написать их уравнения.}

_{Решение:}