Невласний інтеграл

Інтеграл "першого роду" на необмеженій області визначення

Інтеграл "другого роду" від необмеженої функції

Невласний інтеграл є розширенням поняття визначеного інтегралу; він дозволяє в деяких випадках обраховувати "інтеграл на нескінченості" або "інтеграл від необмеженої функції". В математичному аналізі невласним інтегралом називають границю послідовності визначених інтегралів, коли інтервал інтегрування збільшується до нескінченості, або коли інтервал наближається до особливої точки інтегрованої функції, де та йде у нескінченість.

Невласним інтегралом "першого роду"   називається границя  , якщо вона існує.

Невласний інтеграл "другого роду" дозволяє в деяких випадках визначити "інтеграл від функції, необмеженої на інтервалі". А саме, нехай функція   визначена на  , і для кожного малого   існують інтеграли  . Тоді якщо існує дійсна границя  , то вона зветься невласним інтегралом "другого роду".

Кратний інтеграл

Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею z = x² − y². Прямокутний регіон у основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох зміних буде інтегруватися

Кратний інтеграл або ж багатократний інтеграл степеня n, це визначений інтеграл по n змінних з функції n змінних:

.

Кратний інтеграл — це саме визначений інтеграл, при його обчисленні завжди виходить число

Окремі випадки багатократного інтеграла це:

• подвійний інтеграл:

• потрійний інтеграл:

Для геометричної інтерпретації розглянемо випадок  . Нехай функція   приймає в області   тільки позитивні значення. Тоді подвійний інтеграл   чисельно дорівнює об'єму   вертикального циліндрового тіла, побудованого на основі   і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні  .

Головним методом для розрахунку кратного інтеграла є зведення кратного інтеграла до повторних

Хай   — вимірна множина,   — також вимірна множина,   визначена і інтегрована на  . Тоді

.

Будь-який d-вимірний інтеграл можна звести до d одномірних.

Інтеграл Лебега

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтеграла Рімана на ширший клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також iнтегровні за Лебегом, причому в такому разі обидва інтеграли однакові. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на iнтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразiв цих інтервалів. Важливо зазначити, що побудова інтеграла Лебега спирається на теорію міри Лебега.

В якості традиційного приклада розглянемо функцію Діріхле  , задану на  , де   — борелівська σ-алгебра на  , а  — міра Лебега. Ця функція принимає значення   в раціональних точках і   в ірраціональних. Легко побачити, що   не інтегровна в сенсi Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

Дійсно, міра відрізка   дорівнює 1, і так як множина раціональних чисел зліченна, то його міра дорівнює 0, значить міра ірраціональних чисел дорівнює  .