5. Обчислення об’ємів тіл обертання

Нехай треба визначити будь-яку площу перерізу тіла

площиною, перпендикулярною до осі . Виділимо в тілі частинку, одержану двома паралельними перерізами, віддаленими один від одного на величину .Тоді об'єм виділеної частини

Інтегруючи, отримаємо

Об'єм тіла обертання

Нехай фігура обертається навколо осі . У результаті утвориться тіло обертання. Знайдемо його об'єм. Для цього виділимо смужку шириною . Його висоту можна взяти такою, що дорівнює . У результаті обертання фігури навколо осі смужка опише циліндричне тіло висотою з радіусом основи . Його об'єм Після інтегрування отримаємо

Приклад 1. Гіперболічний циліндр перетнутий двома площинами, з яких перша перпендикулярна до твірної, а друга проходить через фокус гіперболи перетину циліндра першою площиною так, що лінія її перетину з першою площиною перпендикулярна до осі гіперболи і утворює кут з першою площиною. Знайти об'єм гіперболічного відрізка , якщо відстань від фокуса гіперболи до її найближчої вершини дорівнює

2 м, а довжина перпендикулярного до її осі відрізка , що з'єднує дві точки гіперболи і проходить через фокус, дорівнює 10 м .

Р о з в ' я з о к. Нехай відрізок

м, м, фокус гіперболи , - одна з віток гіперболи. Позначимо , . Тоді точка матиме координати

Отже рівняння гіперболи буде таким:

Підставивши сюди координати точки і, враховуючи, що , одержимо таку систему рівнянь для визначення і :

Звідси

Із рівняння гіперболи знаходимо (тут розглядається

лише одна вітка гіперболи при ). Перетнемо тіло площинами i , паралельними площині . В результаті одержимо скибку товщиною , віддалену від площини на відстань і висотою .Через те , що нескінченно мала величина, то цю скибку можна вважати призмою, висота якої дорівнює . Тому її об'єм

Звідси

Приклад 2. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі синусоїди (рис. 10.8).

Р о з в ' я з о к. Відступимо тут від стандартної формули для обчислення об'єму тіла обертання (див. 10.6), бо вона,в даному випадку приводить до складніших обчислень. Підемо іншим шляхом, розглянувши

елементарний об'єм тіла,

утвореного обертанням навколо осі виділеної

смужки. У результаті її обертання

утвориться тонкостінна циліндрична трубка, висота якої , внутрішній радіус , зовнішній - . Її об'єм з точністю до нескінченно малих першого порядку. 

6. Застосування визначеного інтеграла в фізиці

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з мірою. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса, тощо.

Інтеграл Рімана - найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної  , визначеній на відрізку [a,b] та певного розбиття R цього відрізку на відрізки   інтегральна сума визнається як

де   - будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відріку   до нуля, то функція   називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку   і позначається

.

Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.

Інші визначення інтегралу розширюють клас інтегрованих функцій, включаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.

Лінійний функціонал

На певній області визначення   інтеграл є лінійним функціоналом на просторі функцій:

тут   і   — функції,   — число.

Адитивність по області

Якщо області   та   не перетинаються (або "перетинаються в точці"), інтеграл по об'єднаній області   є сумою інтегралів по   та  :

Монотонність

Якщо   незростаюча послідовність (тобто  ) функцій, які збігаються до нуля для всіх   на області інтегрування, тоді  .

Нормованість

Інтеграл сталої функції-константи   розраховується "як площа прямокутника"

де   — це "міра" області інтегрування, в простішому випадку просто довжина інтервала, або ж "площа" області інтегрування.

Якщо у функції   існує первісна  , то

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення. Вона дає практичний і зручний спосіб обчислення визначеного інтеграла за значеннями первісної на кінцях відрізку інтегрування. Багатомірні інтеграли обчислюються за допомогою теореми про зведення кратних інтегралів до повторного.