1. Проверим ортогонализацию функций ; ; . Скалярное произведение функции

Две функции называются ортогональными если их скалярное произведение равно 0.

Проведем ортогональность .

функции и не ортогональны

Построим ортогональную систему функций:

Пусть:

Выберем так чтобы были ортогональны.

Вычислим:

Контроль:

Подберем коэффициенты и так чтобы функции были ортогональны.

Скалярные произведения, входящие в эти формулы:

Проведем контроль расчетов:

Вывод: Найденные функции ортогональны.

2. Найдем искомую комбинацию функции.

Воспользуемся свойством коэффициента Фурье.

=

=

Ответ:

Задание№5

Теоретическая часть:

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена некоторая непрерывная функция f(x, y ,z), где x, y ,z - прямоугольные координаты точки области. Для ясности в случае, если f(x, y ,z) 0, мы можем считать эту функцию плотностью распределения некоторого вещества в области V.

Разобьем область V произвольным образом на области , обозначая символом не только самую область, но и её объём. В пределах каждой частичной области выберем произвольную точку и обозначим через значение функции f в этой точке. Составим интегральную сумму вида

(5,1)

и будем неограниченно увеличивать число малых областей так, чтобы наибольший диаметр стремился к нулю. Если функция f(x, y ,z) непрерывна, то при этом будет существовать предел интегральных сумм вида (1). Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения области V, ни от выбора точек , обозначается символом (5,2)

и называется тройным интегралом.

Если подынтегральная функция f(x, y ,z)=1, то тройной интеграл по области V выражает объем области V:

Найти объем тела заданного системой неравенств:

параболоид

конус Центр конуса находиться в точке

Находим пересечение параболоида с верхней частью конуса:

Решение является посторонним критерием, так как . Мы получаем или - окружность радиуса 2 . При этом

Находим пересечение параболоида с нижней частью конуса

Пусть

или окружность радиуса .

При:

Следовательно параболу пересекает конус по окружности при и по окружности при . (рис.1)

Для вычисления тройного интеграла используем цилиндрические координаты:

Связь цилиндрических координат с декартовыми:

Разобьем тело на две части. Первая проектируется в центральный круг радиуса , вторая – в центральное кольцо с внутренним радиусом и внешним - (рис.2)

Запишем каждую из этих частей в системы неравенств:

1)

2)

Ответ:

Задание№6

Найти массу тела ограниченного поверхностями

Если плотность распределения массы равна

Теоретическая часть:

Для вычисления массы тела применяем тройной интеграл. В данном случае удобно воспользоваться цилиндрическими координатами.

П рактическая часть:

Для вычисления воспользуемся цилиндрическими координатами.

Запишем тело G с помощью систем неравенств:

Уравнение конуса в цилиндрических координатах.

Ответ:

Задание№7

Теоретическая часть:

Операторный метод состоит в преобразовании задачи Коши в линейное алгебраическое уравнение (путем установления линейного взаимного соответствия между линейными комбинациями функций вида - «оригиналами» и правильными рациональными дробями – «изображениями»), решении полученного алгебраического уравнения и обратном преобразовании решения в искомое решение поставленной задачи Коши.

Важнейшее свойство этого отображения состоит в том, что операции дифференцирования оригинала соответствует операция умножения изображения на множитель ; точнее имеет место основное правило:

то

Пользуясь свойствами линейности, преобразуем поставленную задачу в линейное алгебраическое уравнение – операторное уравнение.

Решение полученного операторного уравнения

представляет сумму правильных рациональных дробей. Для отыскания решения поставленной задачи Коши остается разложить эти правильные рациональные дроби на простейшие и для каждой из них найти оригинал.

Решение:

Изображение системы линейных уравнений:

Решаем систему по формулам Крамера:

=

Ответ:

Задание №8

Найти решение задачи Коши двумя способами:

1. Способ

Запишем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения.

- не встречается среди корней уравнения

- частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Решаем задачу Коши:

Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяет заданные условия.

2. Способ

Используем операторный метод

Находим изображение заданного дифференциального уравнения:

Приводим к общему знаменателю

Ответ:

Список использованной литературы

1.А.С.Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В.Браилов «Математика в экономике», главы 7 и 8.

2. Я.С.Бугров, С.М.Никольский «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного». Главы 2 и 4.

3. Н.С.Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления», том 2. главы 14 и 17, 19.

4. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие под редакцией проф. Ермакова.

26