МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ

(ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра математики

Учебный курс: «Высшая математика» Курсовая работа

Выполнила:

Ващалова Анастасия

МЭ-10-2

Проверил:

Дьяченко О.Н.

Москва

2012

Введение

Данная курсовая работа является продолжением углубленного изучения высшей математики. В ней рассматриваются не пройденные нами темы за 3семестра. В этой работе мы разберем ряд задач, связанных с приложениями двойных и тройных интегралов, разложим функцию в ряд Фурье по синусам, найдем наибольшее и наименьшее значение функции. Также в работе будут применены геометрический и симплекс методы для отыскания оптимального решения задачи; рассмотрим линейное функциональное пространство, операции в котором аналогичны операциям над векторами, только в данном случае они производятся над функциями.

Задание №1

Теоретическая часть:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области D нужно:

1. Найти все стационарные точки функции внутри заданной области.

2. Найти стационарные точки на границе области.

3. Вычислить во всех найденных стационарных точках и в точках пересечения границ области D значения функции . Самое большое из найденных значений будет наибольшим значением функции в области D, самое маленькое – наименьшее значение в области D.

Стационарные точки функции внутри области D – это точки, в которых частная производная равна нулю или не существует.

Стационарные точки на границе области – это точки, в которых выполнено необходимое условие условного экстремума функции при =0 - уравнение связи.

Практическая часть

Найти наибольшее и наименьшее значение функции: f (x, y) = x в замкнутой ограниченной области D: , .

1. Рисуем область ограничения D.

2. Находим стационарные точки функции внутри заданной области. Необходимые условия экстремума.

(y = const) (x = const)

, т.е. все точки на оси абсцисс, принадлежащие области D – стационарные.

3. Находим стационарные точки функции на границах областей.

а)

Находим значение функции в точках и .

б)

Находим значения функции в точках и .

4. Вычисляем значения функции в точках пересечения границ.

Находим точки пересечения линий.

А В или В

Выбираем наибольшее и наименьшее значение функции в области D.

Ответ: при

при

Задание №2

Завод производит два вида продукции: А и В. Единица продукции вида А требует 2 ч на обработку деталей, 1 ч на сборку и 1 ч на упаковку. А единица продукции типа В требует соответственно 1 ч, 1 ч и 3 ч. Оборудование завода позволяет потратить на эти операции соответственно 20 ч, 12 ч и 30 ч. Единица продукции первого вида дает прибыль в размере 40 у.е, а второго – 50 у.е. Требуется составить план выпуска продукции, обеспечивающий заводу максимальную прибыль. Решить задачу двумя способами (геометрическим методом и симплексным методом).

Геометрический метод

Теоретическая часть:

Пусть завод производит - продукция А, - продукция В. Тогда условия работы завода приводит к следующей системе неравенств:

Целевая функция (прибыль).

Требуется найти такие значения , чтобы целевая функция была наибольшей.

Применяется, как правило, для задач линейного программирования, содержащих не более 2 переменных. Суть геометрического метода сводится к следующему:

1. На плоскости, по осям которой отложены искомые переменные величины, строится система ограничений, указанная в задаче (то есть фактически решаем графически систему неравенств). Если она не имеет решения, то соответственно ЗЛП также не имеет решения. Если имеет, то обычно мы получаем некоторый многоугольник (он может быть не замкнут). Этот многоугольник представляет собой область допустимых решений ЗЛП.

2. Находим градиент целевой функции. Он представляет собой вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.

Также нужно отметить, что градиент имеет в данном случае координаты, представляющие собой коэффициенты при соответствующих переменных в целевой функции.

3. Строим так называемую линию уровня. Для этого приравниваем целевую функцию какой-либо константе. Очевидно, что мы получаем прямую, перпендикулярную градиенту.

4. Возможны два варианта:

а) Целевая функция на максимум: перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента. Для простоты будем считать, что ЗЛП имеет единственное оптимальное решение. Тогда последняя точка, лежащая на границе области допустимых решений ЗЛП, через которую пройдет линия уровня и будет представлять собой оптимальное решение.

б) Целевая функция на минимум: все аналогично пункту 1 за исключением того, что линию уровня нужно перемещать в сторону, противоположную градиенту.

Практическая часть:

Табл.№1

	Обработка	Сборка	Упаковка		Прибыль (L)
А	2 часа	1 час	1 час		40 у.е.
В	1 час	1 час	3 час		50 у.е.
Оборудование завода	20 часов	12 часов	30 часов

- единица продукции А

- единица продукции В

Целевая функция:

Строим систему ограничений:

Строим линию уровня:

Решаем систему, состоящую из (3) и (2):

Подставляем в целевую функцию:

Т. е. max прибыли в 570 у.е. будет достигаться при следующем плане выручка 3 едениц товара А и 9 единиц товара В.