§14.4 Свойства двойного интеграла (аналогично свойствам определенного интеграла)

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Доказательство:

2. Двойной интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых:

3. Если , то с геометрической точки зрения двойной интеграл равен объёму цилиндрического тела с основанием D и высотой, равной 1:

(объём численно равен площади области D)

4. Если область D разбита на две части D₁ и D₂,так, что , то:

5. Если , то

6. В сегда , такая что

7. Если <0 ,то <0

Vцилиндроида =

8. на области D₁: на области D₂:

V_D= V_D1+ V_D2

V_D

§14.5 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

При вычислении двойного интеграла разбиение области D удобно проводить прямыми x=const; y=const, тогда очевидно, что и

@

П усть функция z=f(x;y) определена и непрерывна в некоторой области . Предположим, что . Тогда

@

Рассмотрим область D специального вида:

Поставим задачу нахождения объёма цилиндроида с основанием и верхней границей z=(x;y)

Vцил. =

Возьмем произвольное , и проведем через него плоскость // ZoY. Получаем S(x) – площадь поперечного сечения. Очевидно, что

Vцил. = , но S(x) =

Из последних формул имеем: @

или @

и ли в более удобном виде:

Вывод: Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух обыкновенных определенных интегралов (повторное интегрирование).

Вычисление повторного интеграла:

1. Вначале вычисляют внутренний интеграл. В этом интеграле переменной считают величину y, а x – фиксированной величиной. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле зависят от x, т.е. от переменной интегрирования во внешнем интеграле. Результат вычисления во внутреннем интеграле есть функция от x.

2. Затем вычисляют внешний интеграл от полученной функции по переменной x. Пределы интегрирования во внешнем интеграле всегда постоянные величины, т.к. это наибольшее и наименьшее значения переменной x в области D.

Замечания:

1. Пусть область имеет другой специальный вид:

Аналогично: = = = (2)

В этом случае во внутреннем интеграле переменная интегрирования – x, а y – величина фиксированная. Результат внутреннего интегрирования – функция от y, а в результате внешнего интегрирования её по y получим некоторое постоянное число; “c” и“d” – числа – наименьшее и наибольшее значение y на .

2. Формулы (1) и (2) выведены в предположении, что область имеет специальный вид, но это не является существенным ограничением. Если контур области более сложный, то она разбивается на конечное число частей, удовлетворяющих предположениям, при которых получены формулы (1) и (2). Далее, применяя свойство 4, получим двойной интеграл по всей области D.

3. Пусть область －некоторый прямоугольник. (Для тестов!)

Если область D －прямоугольник, то пределы внутреннего и внешнего интегрирования－ константы (обратное справедливо). И если при этом функция разделяющаяся, т.е. ,то

Пример 1: Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

П ример 2: D: x=2 , y=x, xy=1.