3. Получение эквивалентной передаточной функции системы.

1. Используем систему MatLab (Matrix Laboratory).

Для того чтобы определить передаточную функцию системы ее необходимо привести к одноконтурному виду. Для этого используются правила структурных преобразований.

Если имеется структурная схема, которую нужно преобразовать к одноконтурному виду, то основные правила таких преобразований следующие:

1. Если имеется цепочка из последовательно соединенных звеньев, то эквивалентная передаточная функция такой цепочки равна произведению передаточных функций, входящих в эту цепочку.

2. Если звенья соединены параллельно, то эквивалентная передаточная функция такой цепочки равна сумме передаточных функций, входящих в цепочку.

3. Если звено с передаточной функцией охвачено обратной связью с передаточной функцией , то эквивалентная передаточная функция такой связки определяется по следующей формуле:

В данной формуле знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «–» - положительной.

Система MatLab представляет собой интерактивную компьютерную систему для выполнения инженерных и научных расчетов, ориентированную на работу с массивами данных. Для нахождения передаточной функции системы нам понадобятся следующие команды:

»W_{1 2}= W₁*W₂ – преобразование последовательного соединения звеньев;

»W_{1 2}= W₁+W₂ – преобразование параллельного соединения звеньев;

» feedback – преобразование встречно-параллельного соединения звеньев.

» W1=tf([4],[0.001 1]);

» W2=tf([0.24 12],[1 0]);

» W3=tf([6],[0.005 1]);

» W4=tf([5],[0.04 1]);

» W5=tf([1],[0.006 0]);

» W6=tf([1],[65 0]);

» W7=0.3;

» W8=0.07;

» W457 = feedback(W4*W5,W7);

» W234578 = feedback(W2*W3*W457,W8);

» Wsystem = feedback(W1*W234578*W6,1)

Transfer function:

28.8 s + 1440

7.8e-008 s^6 + 9.555e-005 s^5 + 0.01843 s^4 + 1.008 s^3 + 131.9 s^2 + 1667 s + 1440

2. Используем систему MathCAD.

MathCAD – это специфический язык программирования, который позволяет облегчить решение математических уравнений. Для нахождения передаточной функции в системе MathCAD, необходимо воспользоваться следующим уравнением:

Рис. 3. Получение передаточной функции в системе MathCAD

Преобразуем получившееся выражение, умножив числитель и знаменатель передаточной функции на . Тогда передаточная функция системы запишется следующим образом:

Эта передаточная функция полностью совпадает с передаточной функцией, полученной в системе MatLab.

Таким образом, эквивалентная передаточная функция исследуемой системы имеет следующий вид:

4. Определение фробениусовой канонической формы уравнений состояния.

Любое звено динамической системы может быть описано с помощью одного дифференциального уравнения. Однако одной и той же передаточной функции может соответствовать множество структур моделей. Отсюда вытекает необходимость выбора наиболее рациональной модели при математическом описании динамических систем. На практике отдают предпочтение так называемым каноническим формам. С инженерной точки зрения канонические формы – это модели исходной системы, отличающиеся простотой математического описания и регулярной структурой. Это обеспечивается переходом от исходного описания с помощью замены переменных к такой системе координат, что большинство элементов матриц в новой системе координат становятся равными нулю или единице.

Наиболее распространенными в практике каноническими формами являются:

• каноническая форма Фробениуса;

• каноническая форма Жордана.

Наибольший интерес представляют канонические формы, при которых структура матриц имеет наиболее простой вид. Причем, при приведении уравнений к канонической форме простую структуру принимают две матрицы из трех:

1. матрицы управляемые канонические формы;

2. матрицы наблюдаемые канонические формы.

Основу реализации фробениусовой канонической формы составляет цепочка последовательно включенных интеграторов, охваченных обратными связями, причем, коэффициенты обратных связей совпадают с коэффициентами характеристического полинома динамической системы.

Для формирования уравнения состояния во фробениусовой канонической форме, необходима передаточная функция исследуемой системы:

Здесь

Запишем дифференциальное уравнение исследуемой системы:

Произведем следующие замены:

Пусть

;

.

Тогда из уравнения (16) следует, что

Таким образом,

Из уравнения (17) следует, что

Объединим получившиеся дифференциальные уравнения и уравнение выхода (16) в систему

Матричная запись этих уравнений имеет следующий вид:

(21)

Полученная форма уравнений состояния носит название фробениусовой канонической формы.

Построим граф, соответствующий данной канонической форме. Графы используются для наглядного изображения зависимостей в САУ. Граф – это условное графическое изображение системы уравнений. Граф представляет собой совокупность вершин (узлов) и соединяющих их ветвей (дуг) с обозначением направления передачи сигналов и их пропускной способности. В данном случае вершинами графа являются переменные входной сигнал , выходной сигнал Связи между переменными изображаются в виде дуг с проставленными коэффициентами при переменных и направлениями передачи сигнала.

Рис. 4. Граф системы для фробениусовой канонической формы.