Тема 5. Середні величини та їх види

Аналіз варіаційного ряду розподілу полягає у виявленні закономірностей зміни частот залежно від зміни кількісної ознаки, яка покладена в основу групування.

При аналізі варіаційних рядів найчастіше використовуються такі групи показників:

1. характеристики центру розподілу;

2. характеристики розміру варіації;

3. характеристики форми розподілу.

Центр розподілу - це значення змінної ознаки, навколо якого групуються інші варіанти. Характеристиками центру розподілу є:

• середня;

• мода;

• медіана;

• кадриль або чверть;

• десята частина.

Середня величина - це узагальнюючий показник, який характеризує сукупність однотипових явищ (процесів) за змінною кількісною ознакою. Вона показує типове характерне значення ознаки, віднесене до одиниці статистичної сукупності.

В середній величині нівелюються індивідуальні відмінності одиниць сукупності, які зумовлені дією випадкових факторів, і виділяється загальне.

Основними умовами використання середніх величин є:

1. однорідність статистичної сукупності;

2. обґрунтований вибір форми середньої величини.

Вибір форми розрахунку середніх залежить від виду ряду статистичних даних, змісту ознаки, мети використання.

Таблиця 5.1

Види середніх

Вид середньої	Проста	Зважена
арифметична			(5.1)-(5.2)
гармонійна			(5.3)-(5.4)
геометрична			(5.5)-(5.6)
квадратична			(5.7)-(5.8)
хронологічна			(5.9)-(5.10)

де x_i - значення ознаки; w_i - вага ознаки ( ); n - обсяг сукупності.

Обчислення середньої арифметичної для дискретного варіаційного ряду може виконатись за формулами простої чи зваженої середньої. В інтервальному ряді попередньо визначають центральні значення відповідних інтервалів і, таким чином, переходять до дискретного ряду. Зауваження: якщо початковий чи кінцевий інтервал в ряді є відкритими, то його довжину слід брати рівною довжині ближчого інтервалу.

Середня арифметична проста - найбільш поширена форма розрахунку (наприклад, середня температура за тиждень). Наприклад. Було зроблено замовлення на 3, 4, 5, 8 грн. Середня вартість замовлення: знаходимо як (3+4+5+8)/4=5.

Середня арифметична зважена теж часто застосовується. Наприклад, в магазині було зроблено 4 замовлень по 3 грн.; 10 замовлень по 10 грн. та 6 замовлень по 20 грн. Середня вартість замовлення складає (3×4+10×10+20×6)/(4+10+6)=12,1 грн.

Якщо сукупність складається з К груп, значення середньої арифметичної розраховують за формулою:

(5.11)

Наприклад, знайти середнє значення успішності потоку, коли відомо середню успішність по групах та число студентів у кожній групі.

Під час розрахунку середньої арифметичної зваженої можна використати відносні частоти.

(5.12)

Середня гармонійна вживається тоді, коли не задана чисельність сукупності, а ваги w_i визначаються як добутки значень варіанти ознаки на її чисельність.

Наприклад, розрахувати середню врожайність двох полів. Врожайність першого поля 20ц/га, а зібрали 400ц. Врожайність другого поля 25ц/га, а зібрали 1000ц.

Середня геометрична вживається при аналізі рядів динаміки для розрахунку середніх коефіцієнтів темпів зміни.

Наприклад, у 2001 році підприємство наростило випуск продукції на 21%, а у 2002 - на 44%. Знайти середній темп зростання за три роки.

Для аналізу часових рядів часто використовують середню хронологічну. Вона дуже часто вживається, коли відомості даються на певний зріз часу.

Наприклад, чисельність потоку студентів спеціальності ЕК становив на 1.09.2001р. - 160 чол., 1.09.2004р. – 200чол., 1.09.2005р. - 140 чол.

Середня квадратична належить до класу степеневих середніх. Як правило, застосовується для вимірювання варіації.

Крім середніх величин важливу роль відіграють мода і медіана.

Мода - це найбільш поширене значення ознаки. Мод може кілька для одного ряду. У інтервальному ряді після визначення модального інтервалу можна точно визначити значення моди за формулою

(5.13)

X_Мо - ліва границя модального інтервалу;

h_Мо - ширина модального інтервалу;

f_Мо - частота модального інтервалу;

f_mo-1 - частота інтервалу, який передує модальному;

f_mo+1 - частота інтервалу, який слідує за модальним.

Наприклад, задано такий розподіл заробітної плати

Таблиця 5.2

Розподіл заробітної плати серед працівниками підприємства

Заробітна плата, грн..	менше 300	300-400	400-500	500-600	600-700	700-900	більше 900
Кількість працівників, чол..	10	25	48	32	28	22	8

Модальний інтервал – 400-500 грн., а мода знаходиться так

Цю ж величину можна знайти методом геометричної перебудови.

Медіана - це варіанта, яка розміщена посередині впорядкованого варіаційного ряду. Медіана ділить весь ряд на дві однакові частини за чисельністю одиниць сукупності.

,

(5.14)

де S_Me - сума нагромаджених частот перед медіанним інтервалом.

Наприклад, в рамках попередньої задачі медіанний інтервал – 500-600 грн., а мода знаходиться так: