11. Геометричні перетворення площини. Використання геометричних перетворень площини для розв’язання конструктивних задач.

Методом перетворень у теорії геометричних побудов називають застосування перетворень до геометричних побудов. Ідея методу геометричних перетворень полягає в тому, що шукану або дану фігуру перетворюють так, щоб після цього побудова стала простішою або звелась безпосередньо до однієї з елементарних задач.

Геометричні перетворення площини:

1. Перетворенням фігури F у фігуру F¹ називається така відповідність, при якій:

1) кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F¹;

2) кожній точці фігури F¹ відповідає деяка точка фігури F;

3) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F¹.

2.Переміщенням(або рухом) називається перетворення фігури , внаслідок якого зберігаються відстані між точками даної фігури.

3.Точки Х і Х¹ називаються симетричними відносно точки О, якщо точка О – середина відрізка ХХ¹.

4. Точки Х і Х¹ називаються симетричними відносно прямої l , якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка ХХ¹ і проходить через його середину.

5. Поворотом фігури F навколо точки О на кут F у фігуру F¹, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х¹ фігури F¹ так, що ОХ¹=ОХ і =

6.Паралельним перенесенням фігури F у напрямі променя ОА на відстань а називається перетворення фігури F у фігуру F¹ , унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х¹ фігури F¹ так, що промені ХХ¹ і ОА співнапрямлені і ХХ¹=а

7.Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F¹, унаслідок якого кожна така точка Х фігури F переходить у точку Х¹ фігури F¹, так що точка Х¹ лежить на промені ОХ і ОХ¹= kОХ (k- фіксоване додатне число).

Розв’язок конструктивної задачі – алгоритм побудови шуканої фігури.

Схема роз’язування конструктивних задач:

І етап – аналіз: шукають залежності, які випливають з умови і дають можливість побудувати алгоритм задачі;ІІ етап – побудова: реалізація знайденого алгоритму;

ІІІ етап – доведення; IV етап – дослідження: при яких даних задача має розв’язок? Скільки розв’язків має задача? тощо.

Задача. Побудуйте трапецію по заданих сторонах.

Рішення. Аналіз. Нехай трапеція АВС шукана, ВР=b, АD=a, AB=c, CD=d рис.

Виконаємо паралельний перенос, обумовлений вектором СВ. Тоді сторона СD перейде у відрізок BD^/. Трикутник АВ^/ може бути побудований, тому що три його сторони c, d, a-b (a>b) відомі. Щоб побудувати шукану трапецію залишається піддати паралельному переносу відрізок BD^/ на вектор BC, довжина якого відома і який спрямований однаково з вектором АD.Побудова. Побудуємо трикутник ABD^/ по сторонах AB = c, BD^/ =d, AD^/= a – b. Через точку B проведемо промінь, однаково спрямований із променем AD^/. На цьому промені побудуємо точку З так, щоб BC=b. Через точку Із проведемо пряму CD паралельно BD^/ до перетинання із продовженням AD^/ у точці D. АВС шукана трапеція.

Доведення. AB = c, ВР= b по побудові, AD=AD^/+DD^/= =AD^/+BC=a – b + b. A BD^/= CD як відрізки паралельних прямих між паралельними прямими.Дослідження. Трикутник ABD^/ можна побудувати по трьох сторонах, якщо d – c < a – b < d + c. При цьому умові однозначно здійсненні й всі інші кроки побудови. Якщо нерівність d – c < a – b < d + c не виконується, то задача при обраних даних не має рішення.