2. Тригонометричні функції, їх властивості і графіки. Методика вивчення тригонометричних функцій.

y=sin(x) D(sin x) = R, y = sin x – непарна функція, графік симетричний відносно початку координат, 3) періодичність: T = 2π,4) sin x = O при х = πn, nZ (нулі функції)

5)проміжки знакосталості:sin x > 0 при 0 + 2πn < x < π+ 2πn, nZ

sin x < 0 при π + 2πn < x < 2π+ 2πn, nZ

6. проміжки монотонності: x [- π /2 + 2πn; π /2 + 2πn], nZ – зростає

x [ π /2 + 2πn; 3π /2 + 2πn], nZ– спадає

7 . екстремуми: y max = 1 при х = π /2 + 2πn, nZ

y min = - 1 при х = - π /2 + 2πn, nZ

8. E(sin x) = [- 1 ; 1] 9. похідна: (sin x )´ = cos x

y =cos(x) D(cos x) = R, y = cos x –парна функція,

графік симетричний відносно осі ординат

3 . періодичність: T = 2π 4. cos x = 0 при х = ^π /₂ + πn, nZ (нулі функції)

5. проміжки знакосталості cos x > 0 при - ^π /₂ + 2πn < x < ^π /₂ + 2πn, nZ

cos x < 0 при ^π /₂ + 2πn < x < ^3π /₂ + 2πn, nZ

6. проміжки монотонності: x [ π+ 2πn; 2π+ 2πn], nZ –зростає x [0 + 2πn; π+ 2πn], nZ– спадає

7. екстремуми: y _max = 1 при х = 2πn, nZ y _min = - 1 при х = π+ 2πn, nZ

8. E(cos x) = [- 1 ; 1] 9. похідна: (cos x )´ = - sin x

y=tg(x) D(tg x) = x R/ ^π /₂ + πn, nZ , y = tg x – непарна функція графік симетричний відносно початку координат

3. періодичніть: T = π 4. tg x = 0 при х = πn, nZ (нулі функції)

5. проміжки знакосталості: tg x > 0 при 0 + πn < x < ^π /₂ + πn, nZ

tg x < 0 при - ^π /₂ + πn < x < 0 + πn, nZ

6. проміжки монотонності: x [- ^π /₂ + πn; ^π /₂ + πn], nZ –зростає эестремумів немає

E(tg x) = R 9. похідна: (tg x )´ = 1/cos ² x

y=ctg(x)

D(ctg x) = x R / πn, nZ ,y = ctg x –непарна функція графік симетричний відносно початку координат 3. періодичність: T = π 4. ctg x = 0 при х = ^π /₂ + πn, nZ (нулі функції) 5. проміжки знакосталості: ctg x > 0 при 0 + πn < x < ^π /₂ + πn, nZ

ctg x < 0 при ^π /₂ + πn < x < π + πn, nZ

6. проміжки монотонності: x [0+ πn; π+ πn], nZ – спадає екстремумів немає

E(ctg x) = R 9. похідна: (ctg x )´ = - 1/sin ² x

Традиційна методична схема вивчення тригонометричних функцій:

На початку визначаються тригонометричні функції для гострого кута прямокутного трикутника; Потім введені поняття узагальнюються для кутів від до ; Тригонометричні функції визначаються для довільних кутових величин та дійсних чисел. У курсі алгебри і початки аналізу здійснюється заключний етап вивчення, який включає: a) Закріплення уявлень учнів про радіанної мірою кута; відпрацювання навичок переходу від градусної міри до радіанної і навпаки; b) Формування уявлень про кутах з градусної мірою, більшою ; Формування уявлень про кути з позитивною і негативною градусними заходами;переклад цих градусних заходів у радіани (позитивні і негативні дійсні числа); c) Опис тригонометричних функцій на мові радіанної міри кута; d)Затвердження функціональної точки зору на , , І (Трактування , , І як функцій дійсного аргументу, встановлення області визначення, області значень, побудова графіка функції, встановлення проміжків монотонності, знакопостоянства і т.д.); e) Повторення відомих та ознайомлення з новими тригонометричними тотожністю, ключем яких є тотожність ;f) Застосування тригонометричних тотожностей в тотожних перетвореннях і при вирішенні завдань по стереометрії. У курсі "Алгебра 9" учні знайомляться з функціональної точкою зору. Вирази і определіми при , Т.к кута повороту можна знайти відповідне значення дробів і . Вираз має сенс при , Крім кутів повороту , , ..., Тому що має сенс дріб . Кожному допустимого значення відповідає єдине значення , , і . Тому , , і є функціями кута . Їх називають тригонометричними функціями.

Введення радіанної міри кута ґрунтується на тому факті, що відносини довжини кола до її радіусу постійно для даного центрального кута і не залежить від вибору концентричних кіл. З цієї причини міру центрального кута можна охарактеризувати дійсним числом . Якщо покласти рівним 1, то Радіанна міра центрального кута дорівнює 1, тобто . Тоді для кожного кута, заданого в градусах, достатньо обчислити відповідну дугу одиничному колі. Довжина такої дуги буде висловлювати міру даного кута в радіанах. Радіанна міра кута дозволяє будь-якому дійсному числу поставити у відповідність певну градусну міру кута за формулою: , Де . Перехід від радіанної міри кута до дійсного числа здійснюється на підставі того, що . Учням слід показати зміну величин кутів по координатним кутках.

Визначення тригонометричної функції: Опр. Окружність радіуса 1 з центром у початку координат називають одиничною колом. Нехай точка одиничному колі отримана при повороті точки на кут в радіан. Ордината точки - Це синус кута . Числова функція, задана формулою , Називається синусом числа, кожному числу ставиться у відповідність число . Встановлюються області визначення і значення функцій, нагадуються властивості: ; . Можна побудувати схему, що дозволяє зобразити графік тригонометричних функцій:

1) Накреслити одиничну окружність, горизонтальний діаметр якої служить продовженням осі . Розділити її на рівні частини (наприклад, 16).

2) Для функції вибираємо відрізок , Для функції - і ділимо їх на той же рівне число частин.

3) По колу знаходимо відповідне число значень цих функцій.

4) Точки перетину горизонтальних ліній, що відповідають значенням функцій і вертикальних ліній, що відповідають значенням аргументу, являють собою точки графіка.