28. Методика вивчення рівнянь і нерівностей в курсі алгебри і початків аналізу.

Рівняння і нерівності Курс алгебри і початків аналізу передбачає навчити учнів розв'язувати трансцендентні рівняння і нерівності (тригонометричні, показникові, логарифмічні) та ірраціональні рівняння і нерівності. Це пов'язується з вивченням властивостей відповідних функцій. Відомо, що не існує загального способу розв'язування трансцендентних рівнянь і нерівностей. Проте в умовах середньої школи доцільно ознайомити учнів зі способами розв'язування найпростіших та окремих видів таких рівнянь і нерівностей, до яких зводиться, як правило, розв'язування складніших. Практика показує, що корисно звести в систему окремі види рівнянь і нерівностей за способами їх розв'язування.

Чинна програма вимагає, щоб учні вміли розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння (sin х = a, cos х = a, tg x = а)та деякі нескладні види тригонометричних рівнянь, які зводяться до найпростіших: навчились розв'язувати нескладні показникові, логарифмічні ірраціональні рівняння, нерівності і їх системи.

Тригонометричні рівняння у методичній літературі свого часу велась дискусія з приводу означення поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним пропонувалось назив:

1. рівняння, в якому змінна входить лише під знак тригонометричної функції (у такому разі рівняння вигляду sinх + х = 0 не належить до тригонометричних; його пропонували називати «трансцендентним»);

2. рівняння, в якому змінна входить під знак тригонометричної функції (тоді рівняння sinx + x = 0 вважалось тригонометричним).

Розбіжність в означеннях не є принциповою. Слід наголосити на принциповій відмінності тригонометричних рівнянь від алгебраїчних: тригонометричні рівняння, в яких змінна входить лише під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розв'язків, або мають їх здебільшого безліч. Це пов'язано з властивістю періодичності тригонометричних функцій.

Найпростіші тригонометричні рівняння розв’язуються двома способами: графічний спосіб; знаходження розв’язків за допомогою одиничного кола.

Способи розв’язування тригонометричних рівнянь: спосіб зведення до однієї тригонометричної функції;спосіб розкладення на множники; спосіб розв’язування однорідних рівнянь; спосіб введення допоміжного аргументу; графічний спосіб.

Програма курсу алгебри і початків аналізу передбачає ознайомлення учнів зі способами розв’язування лише найпростіших тригонометричних нерівностей. Найзручніше їх розв’язувати за допомогою одиничного кола.

Показникові рівняння.Щодо означення показникових (і логарифмічних) рівнянь , як і щодо тригонометричних, існують два погляди:

3. показниковими (логарифмічними) називати рівняння, в яких невідоме входить лише до показника степеня (під знак логарифма або до його основи);

4. показниковими (логарифмічними) називати рівняння, в яких невідоме вд показника степеня (під знак логарифма або до його основи).

Аналогічні погляди існують щодо означення показникових і логарифмічних нерівностей.

Доцільно ознайомити учнів з основними способами розв’язування показникових рівнянь. До найпростіших показникових рівнянь належать рівняння вигляду . Теоретичною основою його розв’язування є наслідок з властивості монотонності показникової функції6 якщо степені того самого числа, відмінного від одиниці, рівні, то рівні і їх показники.

Способи: спосіб зведення обох частин рівняння до степеня з однаковою основою; спосіб логарифмування; введення допоміжного невідомого; спосіб винесення спільного множника за дужки; графічний спосіб.

Показникові нерівності. Теоретичною основою розв’язування показникових нерівностей є властивость монотонності показникової функції, а способи розв’язання аналогічні способам розв’язання показникових рівнянь.

Логарифмічні рівняння під час розв’язання логарифмічних рівнянь використовують логарифмічні тотожності, властивості логарифмів і операція потенціювання. Важливо звернути увагу учнів на те, що оскільки логарифм. функція визначена лише на множині додатних чисел, то варто ще до розв’язування рівняння знайти область визначення виразів, що входять до складу рівнянь. Слід застерегти учнів від можливих порушень еквівалентності логарифмічних рівнянь внаслідок виконання тотожних перетворень.

Доцільно звести до системи основні способи розв’язання логарифмічних рівнянь.

Найпростіше рівняння розв’язується за означення логарифма, або способом зведення до рівності логарифмів з однією основою. Останній прийомом використовують при розв’язанні складніших рівнянь. Доцільно виділити чотири способи розв’язування таких рівнянь : спосіб потенціювання; спосіб введення допоміжного невідомого; застосув. формули переходу від однієї основи до іншої; графічний спосіб.

Логарифмічні нерівності.Теоретичною основою розв’язання логарифмічних нерівностей є властивість монотонності логарифмічної функції. Способи розв’язання логарифмічних нерівностей аналогічні способам розв’язування логарифмічних рівнянь.

Ірраціональні рівняння і нерівності. Ірраціональними називають рівняння в яких невідома міститься під знаком кореня. аналогічно визначаються іррац. нерівності. Слід звернути увагу учнів на те, що до складу іррац. р-нь і нерівностей входять лише арифм. корені. така домовленість дає змогу уникнути неоднозн. в тлумаченні значень коренів.

Ірраціональні рівняння.Розв’язування іррац. рівнянь пов’язується з вивченням в 11 класі властивостей кореня n-го степеня. В підручнику передбачено озн. учнів зі способом розв. найпростіших іррац. р-нь до складу яких входять корені, як правило,2і3-гостепенів. Основна мета при розв’язуванні таких рівнянь – звести іррац. рівняння до алгебраїчного методом перетворень, які дають можливість позбутися коренів доцільно ознайомити учнів з двома способами розв. Іррац. Р-нь: піднесення обох частин рівняння до степеня з показником, рівним показн. кореня, що входить до р-ня; сп введення допоміжної змінної.

Ірраціональні нерівності.На рівні вимог обов’язкових результатів навчання програма не вимагає ознайомлювати учнів зі способами розв’язання іррац. нерівностей. Однак на підвищеному і поглибленому рівнях треба передбачити розв’язування найпростіших іррац. нерівностей.

Ірраціональна нерівність рівносильна системі нерівностей Ірраціональна нерівність рівносильна сукупності двох систем або