26. Методика вивчення показникових рівнянь

У курсі алгебри і початків аналізу в 10 класі спеціально вивчаються показові рівняння і нерівності. Вирішуючи їх, учні краще засвоюють властивості показовою функції, вдосконалять навички тотожних перетворень, повторюють і вдосконалюють техніку рішення відповідних рівнянь алгебри, при графічному способі рішення вдосконалюють навички креслення графіків показових функцій, поглиблюють питання теорії равносильности рівнянь і нерівностей.

Основна мета: ввести поняття про показових рівняннях і нерівності, навчити учнів основним способам їх вирішення.

У чинному навчальному посібнику Алгебра 10-11 (Шкіль М.І.) дається описове визначення поняття показового рівняння:

Показовими називаються рівняння, в яких невідоме число входить тільки в показник ступеня при постійній основі.

У класі показових рівнянь можна вказати підкласи найпростіших рівнянь, до яких зводиться рішення більш складних завдань, а саме и , , . Кожен найпростіший клас тісно пов'язаний з класом відповідних функцій, формули рішення і дослідження найпростіших рівнянь спираються на властивості показових функцій.

Необхідно ознайомити учнів з деякими способами вирішення окремих типів рівняння (і нерівностей), тому що загального методу немає, але не вирішувати на уроках дуже складних, громіздких рівнянь і нерівностей в обсязі, більшому, ніж передбачено програмою.

У чинному навчальному посібнику не систематизований матеріал про способи, при розгляді питання про рішення рівнянь дані одні способи, а при вирішенні нерівностей - інші. Тому доцільно дати окремо всі способи вирішення показових рівнянь з прикладами та зразками записи рішення (ці ж способи застосовуються і для вирішення нерівностей). Способи вирішення показові рівнянь:

1. Приведення обох частин рівняння до одної основи (способ для уравнений вида , , , ).

2. Винесення спільного множника за дужки (приведение к виду ).

3. Зведення до раціональних за допомогою заміни.

4. IV. Однорідні показові рівняння.

5. V. Використання властивості монотонності показовою функції.

6. VI. Графічний спосіб.

Аналогічно вивчаються і показові нерівності.

Неравенства и , где функции и (или хотя бы одна из них) – показательные, называются показательными.

Розвязання показникових нерівностей основане на тому, що показник є монотонно зростаючим при і монотонно спадаючим при , крім того, для будь-яких значень х. Наприклад, ; , поскольку , то , . Відповідь: .

Після вивчення логарифмічної функції і її властивостей учні познайомляться з ще одним способом вирішення показових рівнянь і нерівностей - способом логарифмування обох частин рівняння або нерівності. Доцільно теоретичний матеріал по способам рішення дати на перших уроках у вигляді лекцій.

27. Методика вивчення логарифмічних рівнянь і нерівностей.

Щодо означення логарифмічних рівнянь , як і щодо тригонометричних, існують два погляди:

1. логарифмічними називати рівняння, в яких невідоме входить під знак логарифма або до його основи;

2. логарифмічними називати рівняння, в яких невідоме вх під знак логарифма або до його основи).

Аналогічні погляди існують щодо означення показникових і логарифмічних нерівностей

Під час розв’язання логарифмічних рівнянь використовуються логарифмічні тотожності, властивості логарифмів і операція потенціювання. Важливо звернути увагу учнів на те, що оскільки логарифмічна функція визначена лише на множині додатних чисел, то варто ще до розв’язування рівняння знайти область визначення виразів, що входять до складу рівнянь. Слід застерегти учнів від можливих порушень еквівалентності логарифмічних рівнянь внаслідок виконання тотожних перетворень.

Доцільно звести до системи основні способи розв’язання логарифмічних рівнянь.

Найпростіше рівняння розв’язується за означення логарифма, або способом зведення до рівності логарифмів з однією основою. Останній прийомом використовують при розв’язанні складніших рівнянь. Доцільно виділити чотири способи розв’язування таких рівнянь : спосіб потенціювання; спосіб введення допоміжного невідомого; застосування формули переходу від однієї основи до іншої; графічний спосіб.

Логарифмічні нерівності.

Теоретичною основою розв’язання логарифмічних нерівностей є властивість монотонності логарифмічної функції. Способи розв’язання логарифмічних нерівностей аналогічні способам розв’язування логарифмічних рівнянь.