24. Методика вивчення початків теорії ймовірностей і елементів статистики.

Головною метою розділу «Елементарна тео­рія ймовірностей» має бути часткова ліквідація «стохастичної безграмотності», що передбачає:

• сформувати розуміння детермінованості й випадковості;

• ознайомити учнів з основними поняттями та ідеями цього розділу математики, показати його логічну будову, сформувати цілісне уявлен­ня про нього;

• простежити історичний розвиток теорії ймо­вірностей;

• допомогти усвідомити, що багато законів природи й суспільства носять ймовірнісний ха­рактер, що багато реальних явищ і процесів можна добре описати ймовірнісними моделя­ми;

• переконати, що теорія ймовірностей має важливе значення для математичної освіти.

Зміст розділу «Елементарна теорія ймовірностей».

При першому ознайом­ленні з основними поняттями теорії ймовірно­стей необхідно уникнути двох крайностей: не можна викладати теорію ймовірностей як абст­рактну систему, яка відірвана від реальної дійсності, і не можна подавати теорію ймовір­ностей як систему готових правил, у які зали­шається лише підставити числові дані.

При відборі матеріалу для первинно­го ознайомлення з предметом або розділом, крім урахування загальноосвітньої значимості, при­кладної цінності та можливості формувати пра­вильне світорозуміння, слід дотримуватися ос­новних принципів навчання, зокрема:

1. Принципу концентризму, який вимагає, щоб при першому ознайомленні з предметом або розділом той, хто навчається, отримав про нього нехай і не повне, але всебічне й цілісне уявлення.

2. Принципу науковості, згідно з яким роз­глядуваному матеріалу необхідно дати-таке трак­тування, яке в подальшому можна розвинути, узагальнити й отримати сучасний виклад.

3. Принципу доведення викладання до ко­рисних результатів. Згідно з цим принципом не варто вивчати теорію ймовірностей, якщо це вивчення обмежене самими простими комбіна­торними задачами і не дійде до найпростішої форми закону великих чисел.

4. Принципу доступності. При першому ознайомленості з основними поняттями теорії ймовірностей спочатку необхідно розглянути диск­ретний випадок.

Тож при першому ознайомленні з основними поняттями теорії ймовірностей необхідно передбачити розумне поєднання життєвого дос­віду, строгості й доступності.

При вивченні елементарної теорії ймовірностей доцільно починати вивча­ти і випадкові величини, ознайомитися з роз­поділом таких величин та з їхніми числови­ми характеристиками.

Завершити вивчення розділу «Елементарна теорія ймовірностей» необхідно нерівністю Чебишева та найпростішою формою закону вели­ких чисел (теоремою Бернуллі).

Під стохастикою розуміють два розділи мате­матики: теорію ймовірностей і математичну ста­тистику — це розділи, за допомогою яких мож­на вивчати випадкові явища. Стохастика виник­ла в результаті аналізу азартних ігор, переписів населення, питань страхування майна. У XVII ст. цими питаннями цікавилися видатні французькі математики Паскаль і Ферма. Першим великим дослідженням із теорії ймовірностей був трак­тат Гюйгенса (1657 р.) «Про розрахунки в азартній грі». Та тільки праця Якоба Бернуллі «Ars conjectandi (Мистецтво передбачень)», яка була опублікована в 1713 р. (через 8 років після смерті автора), поклала початок теорії ймовір­ностей як строгої математичної дисципліни.

Первісним поняттям стохастики є поняття стохастичного експерименту. Це дослід, експе­римент, випробування, в широкому розумінні цих слів, результат якого заздалегідь передба­чити не можна — він випадковий. Та не всякі експерименти з випадком називають стохастичними, й дати точне означення цього поняття не просто. Одна з основних властивостей стохас­тичного експерименту полягає в тому, що його можна повторювати багато разів без зміни умов проведення і що при багаторазовому повторенні експерименту наслідки попередніх експери­ментів не впливають на наслідки наступних ек­спериментів. Наслідки стохастичних експери­ментів називають випадковими подіями або просто подіями. Найпростішим прикладом сто­хастичного експерименту є підкидання монети, в якому може відбутися одна з двох подій: ви­падає герб, випадає цифра.

25. Методика вивчення тригонометричних рівнянь і нерівностей

У курсі алгебри і початку аналізу в 10 класі спеціально вивчаються трігонометрычны рівняння і нерівності. Вирішуючи їх, учні:

1) краще засвоюють властивості відповідних функцій;

2) вдосконалять навички тотожних перетворень;

3) повторюють і вдосконалюють техніку рішення алгебраїчних рівнянь;

4) при графічному способі рішення вдосконалюють навички креслення графіків відповідних фуекцій;

5) поглиблюють питання теорії равносильности рівнянь і нерівностей.

Формально-логічних визначень тригонометричного рівняння і нерівності в ШКМ немає, а дані некоректні розпливчасті визначення: тригонометричними рівняннями називаються рівняння, що містять невідоме (змінну) тільки під знаком тригонометричної функції. Але визначення такого типу достатні для того, щоб вказати деяку область, з якої рівняння і нерівності вирішуються способами, досліджуваними при вивченні відповідної теми. На відміну від інших трансцендентних рівнянь, де розглядається один тип найпростіших рівнянь, в тригонометрії розглядаються три типи: sint = a, cost = a, tgt = a, b відповідні типи нерівностей sint <> a, cost <> a, tgt <> a . Вивчення цих типів вимагає введення нових функцій - зворотних тригонометричних функцій, що представляє собою зворотну тригонометричну задачу. Вирішуються ці рівняння аналітично, а висновки підтверджуються графічно за допомогою одиничної окружності навчальному посібнику А-10-11 (під ред. А.Н. Колмогарова). У чинному навчальному посібнику А-10-11 (під ред. Шкіль М.І.) прийнятий інший варіант: снакчала найпростіші рівняння вирішуються графічно, побудувавши в одній системі координат графіки відповідних функцій і у = а, а потім загальна формула рішень цих рівнянь виводиться за допомогою одиничної окружності.

Основні факти за рішенням найпростіших тригонометричних рівнянь і нерівностей доцільно дати учням у вигляді опорних схем. Наприклад, частина схем для розв'язання рівняння:

cost=a cost=a, │a│≤1 Помнить:

t=±arccos a+2πn, n є z 1) 0≤arccos α≤π

cost=0 cost=1 cost=-1 2) arcos(-α)=π-arcsinα

t=π/2+πn, n є z t=2πn, n є z t=π+2πn, n є z

(t=± π/2+2πn)

так як характерною помилкою є рішення цього рівняння для а <0, то бажано доповнити цю схему такою формулою cost =-b (0 <b ≤ 1), t = ± (π-arccosb) +2 πn, n є z

Фрагмент опорної схеми для вирішення нерівностей

sint sint

π-arcsin a arcsin a π-arcsin a arcsin a

0 0

sint>a sint<a

З малюнка видно, що рішеннями відповідних нерівностей є точки дуг одиничної окружності розташовані над прямої у = а в першому випадку, під прямий - у другому.

У чинному навчальному посібнику пропонується два способи вирішення нерівностей: перший спосіб за допомогою графіків відповідних функцій, а другий за допомогою одиничної окружності. Другий спосіб більш зручний, тому для нього і необхідна опорна схема рішення, а про перший способі тільки розповісти і зіставити з другим.

При вирішенні рівнянь важливо підкреслити той факт, що якщо це рівняння має рішення, то воно має їх безліч. Наприклад, sin3x = 0, 3x = πn, x = πn / 3, n є z.ето безліч рішень записують за допомогою ряду, який називають загальним рішенням рівняння, а ті значення, які виходять при конкретних значеннях параметра n (k, m, l ...) називають приватними рішеннями.

Корисно вивести і формули вирішення рівняння ctg t = a оскільки при вирішенні надалі нерівностей виду ctg t <> a в силу відмінності областей визначення функцій тангенса і котангенса можуть з'явитися сторонні рішення або втрачені рішення.

Виробленні міцних навичок вирішення найпростіших рівнянь і нерівностей сприяє проведення математичних диктантів, самостійних робіт, індивідуальних завдань, програміровонного контролю і т.д. Наприклад,

Задания В-1 В-2		Ответы
Sinx=-1/2	Sinx=1/2	(-1)кπ/6+πк; (-1)кπ/6+2πк; (-1)к+1+π/6+πк; π/6+2πк

Методичні завдання: у навчальному посібнику всі формули для вирішення найпростіших рівнянь і нерівностей даються для аргументу х, але ж найчастіше аргумент має вигляд kx + b, тобто треба вирішувати, наприклад, рівняння sin f (x) = a або нерівність sin f (x)> <a. При цьому треба f (x) = t, тобто вводити нову змінну. Тому доцільно все формули відразу виводити для аргументу t, тобто sint = a, sint> <a.

Тригонометричні рівняння вивчаються більш глибоко, ніж нерівності, дається кілька стандартних методів вирішення: метод розкладання на множники; метод виведення нової змінної, введення допоміжного аргументу (для рішення рівняння виду asinx + bcosx = c) і метод вирішення однорідних рівнянь.

При вирішенні тригонометричних рівнянь і нерівностей достатню увагу слід приділяти формуванню навичок застосування тотожностей для перетворення даних рівнянь і нерівностей. Труднощі пов'язані з тим, що деякі тотожності, використовувані в перетвореннях, необсалютни, тобто призводять до зміни області визначення (якщо вона звужується - коріння губляться, якщо розширюється - з'являються сторонні рішення). Тому необхідно перед вивченням тригонометричних рівнянь і нерівностей виписати тільки ті тотожності, які абсолютні. Наприклад:

tg (α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα + tgβ) - неабсолютно тотожність, у нього різні області визначення.

a tgα + tgβ = (sinα + β) / cosα cosβ - абсолютна тотожність,

tg 2α = 2tgα / 1-tg2α і sinα = 2tg (α / 2) / 1 + tg2 (α / 2) - неабсолютним і т.д.