Пример решения контрольной работы

Задача 1

Составить математическую модель и решить задачу графическим методом с последующим вычислением точных значений.

В производстве пользующихся спросом двух изделий принимают участие 3 цеха фирмы. На изготовление первого изделия 1-й цех затрачивает С1 часов, 2-й цех — С2 часов, 3-й цех — С3 часов. На изготовление одного второго изделия 1-й цех затрачивает D1 ч, 2-й цех — D2 ч, 3-й цех — D3 ч. На производство обоих изделий 1-й цех может затратить не более А1 ч, 2-й цех — не более А2 ч, 3-й цех — не более А3 ч.

От реализации первого изделия фирма получает доход Z1 р., а второго изделия - Z2 р.

Определить максимальный доход от реализации всех изде­лий. Значения коэффициентов условия задачи представлены в таблице.

С1	С2	С3	D1	D2	D3	A1	A2	A3	Z1	Z2
4	1	1	1	1	4	600	210	600	4	7

Решение

1. Предположим, что х – это количество первых изделий, а у – вторых.

Тогда целевая функция имеет вид:

L = Z1*x + Z2*y = 4*x + 7*y = L_max

Ограничения выявляем по каждому цеху в отдельности:

1 цех С1*x+D1*y ≤ A1

2 цех С2*x+D2*y ≤ A2

3 цех С3*x+D3*y ≤ A3

Или:

4*x+1*y ≤ 600

1*x+1*y ≤ 210

1*x+4*y ≤ 600

2. Графически находим область допустимых значений:

(она выделена штриховкой на графике).

3. Находим вектор градиента и строим его на плоскости

1. Находим координаты точки экстремума и значение целевой функции в ней по правилу:

опптимальное решение (если оно существует) всегда до­стигается в одной из вершин области допустимых значений.

Наиболее отдаленной в направлении вектора градиента является точка А, для которой правомочна система уравнений:

1*x+1*y = 210

1*x+4*y = 600

Решение этой системы вычитанием первого уравнения из второго приводит к результату:

у = 130 х = 80

4. Целевая функция равна:

L = 4*x + 7*y = 4*80 + 7*130 = 1230.

Ответ: 1230.

Задача 2 по теме "Сетевые модели"

Транспортному предприятию требуется перевезти груз из пункта 1 в пункт 14. На рис. 1 показана сеть до­рог и стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами. Определить маршрут доставки груза, которому соответ­ствуют наименьшие затраты.

Рис.1

Задача 3

Решение

А_1-2 = 16

А_1-3 = 15

А_1-4 = 17

А_1-5 = А_1-2 + d₂₅ = 16+17 = 33

A_1-6 = min(A_1-2+d₂₆; A_1-3+d₃₆; А_1-5 + d₅₆) = min(16+15; 15+16; 33+16) = 31

A_1-7=min(A_1-3+d₃₇; A_1-4+d₄₇)= min(15+14; 17+19)=29

A_1-8 = min(A_1-4+d₄₈; A_1-7+d₇₈) = min(17+18; 29+10) = 35

A_1-9 = min(A_1-5+d₅₉; A_1-6+d₆₉) = min(33+17; 31+16) = 47

A_1-10 = min(A_1-6+d_{6 10}; A_1-7+d_{7 10}) = min(31+20; 29+12) = 41

A_1-11 = min(A_1-7+d_{7 11}; A_1-8+d_{8 11}) = min(29+11; 35+9) = 40

A_1-12 = min(A_1-9+d_{9 12}; A_1-10+d_{10 12}) = min(47+13; 41+14) = 55

A_1-13 = min(A_1-10+d_{10 13}; A_1-11+d_{11 13}) = min(41+20; 40+20) = 60

A_1-14 = min(A_1-12+d_{12 14}; A_1-10+d_{10 14}; А_1-13 + d₁₃ 14) = min(55+18; 41+19; 60+19) = 60

Жирным выделен маршрут:

1-3-7-10-14