3.5 Оптимізація при нечіткій цілі та нечітких обмеженнях
Нехай
– нечітка ціль, а
– нечіткі обмеження ,коли задачею
оптимізації з нечіткою ціллю і нечіткими
обмеженнями є:
(3.49)
при обмеженнях
(3.50)
Для вирішення (3.49) – (3.50) об’єднаємо два вище згадані випадки – задачу оптимізації із нечіткою логікою і чіткими обмеженнями та задачу оптимізації з чіткою ціллю та нечіткими обмеженнями, отримаємо наступну модель
(3.51)
Тут
В дійсності, для нечіткого лінійного програмування із нечіткою ціллю і нечіткими відношеннями, тобто для задачі
розв’язок буде
Розглянемо задачу нечіткої оптимізації управління установки ступенево-протитічного каталітичного крекінгу (СПКК).
Технологічна схема роботи установки СПКК аналогічна такій же схемі установки ДСКК і включає в себе наступні технологічні агрегати: піч для нагрівання сировини, регенератор для відновлення активності каталізатора; реактор каталітичного крекінгу, ректифікаційну колону для розподілу отриманих продуктів; газосепаратор і т.д.
Продуктами каталітичного крекінгу є газ,компонент автомобільного бензину, каталітичний газойль та кокс. Ціль каталітичного крекінгу – отримання компоненту автобензину y1.
Основними збурюючими впливами, які впливають на вихід бензину є витрата сировини – вакуумної перегонки x1 та його густина x2. Регулюючими параметрами є температура парі верху реактора x3, температура каталізатора в десорбері реактора x4, і температура верхньої частини регенератора x5.
Аналогічно як і на установці ДСКК, для керування виходом бензину були вибрані реакторний і регенеративний блоки. Подальше дослідження цих двох установок показало, що оскільки отримані на ДСКК та СПКК фракції бензину є вхідною сировиною для виготовлення компаундування, при управління процесом каталітичного крекінгу слід якісні показники бензин – початок і кінець кипіння – строго контролюються. В задачу управління реакторним і регенераторним блоками були включені обмеження на якість бензину, які відповідно технологічному регламенту сформульовані нечітко.
Задача
оптимізації установки СПКК полягає у
визначенні при заданих значеннях
збурюючи впливів x1
та x2
таких значень керуючих змінних x3,
x4,
x5,
які забезпечують максимальний вихід
цільового продукту y
при дотриманні обмежень на його якість:
температура кінця кипіння (yк.к)
бензину має бути не більше
,
на початку кипіння (yп.к)
– не нижче
.
Математична задача сформулюється таким чином:
при обмеженнях
Для
ідентифікації
був використаний метод описаний в §2.2.
Залежності
та
визначені методом множинної кореляції.
Таким чином, задачу нечіткої оптимізації процесу СПКК можна сформувати як задачу нечіткого лінійного програмування з нечіткою ціллю і нечіткими обмеженнями
(3.52)
(3.53)
Для вирішення задачі (3.52) – (3.53) застосовують підходи описані в §3.1. Спочатку задачу (3.52) – (3.53) розглядаємо як задачу нечіткого лінійного програмування із нечіткою ціллю і у відповідності до підходу, описаному в §3.3, запишемо її у вигляді:
(3.54)
при обмеженнях
(3.55)
Задача
(3.54) – (3.55) є задача багатокритеріальної
оптимізації з нечіткими обмеженнями.
Для її вирішення спочатку визначають
область допустимих значень
кожного критерію
.
Для цього визначаємо максимум кожної
функції
при обмеженнях (3.55). Ця задача лінійного
нечіткого програмування з нечіткими
відносинами.
Застосувавши
підхід, описаний в §3.2, знайдемо область
допустимих рішень кожної задачі. Нижче
показані функції приналежності нечітких
множин
,
які описують нечіткі цілі і обмеження
на кожному рівні
:
У
табл. 3.5
приведені
області допустимих вирішень кожного
критерію
,
а
в табл. 3.6
міра
приналежності
кожного його елементу. Множина оптимальних
рішень Dі
кожного
критерію, яка визначається як пересічення
нечіткої мети
і
нечітких обмежень
і
на кожному рівні
,
показано в табл. 3.7.
Таблиця 3.5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
580 580 580 580 580 580 580 580 585 585 585 585 585 585 585 585 585 590 590 590 590 590 590 590 590 590 595 595 595 595 595 595 595 595 595 |
455 455 455 455 458 458 458 462 455 455 455 455 458 458 458 461 461 455 455 455 455 458 458 458 461 461 455 455 455 455 458 458 458 458 461 |
480 485 490 495 490 495 500 500 485 490 495 500 490 495 500 500 505 485 490 495 500 495 500 505 505 510 490 495 500 505 495 500 505 510 505 |
47,64 48,93 50,22 51,51 48,44 49,73 51,02 49,23 46,98 48,27 49,56 50,85 46,48 47,77 49,06 47,28 48,57 45,02 46,31 47,60 48,89 45,82 47,11 48,40 46,61 47,90 44,36 45,65 46,94 48,23 43,86 45,15 46,44 47,73 44,66 |
48,77 50,34 51,91 53,48 50,24 51,81 53,38 51,72 48,19 49,76 51,33 52,90 48,10 49,67 51,24 49,58 51,15 46,05 47,62 49,19 50,76 47,52 49,09 50,66 49,00 50,57 45,47 47,04 48,61 50,18 45,38 46,95 48,52 50,09 46,86 |
51,82 54,08 56,34 58,60 54,27 56,53 58,79 56,72 52,20 54,46 56,72 58,98 52,39 54,65 56,91 54,84 57,10 50,32 52,58 54,84 57,10 52,77 55,03 57,29 55,22 57,48 50,70 52,96 55,22 57,48 50,89 53,15 55,41 57,67 53,34 |
57,54 59,52 61,50 63,48 59,03 61,01 62,99 60,52 57,67 59,65 61,63 63,61 57,18 59,16 61,14 58,67 60,65 55,83 57,81 59,79 61,77 57,32 59,30 61,28 58,81 60,79 55,96 57,94 59,92 61,90 55,47 57,45 59,43 61,41 56,96 |
56,69 58,10 59,52 60,93 56,59 58,01 59,42 56,50 57,62 59,03 60,45 61,86 56,11 57,52 58,94 56,01 57,43 57,13 58,55 59,96 61,38 57,04 58,45 59,87 56,94 58,36 58,06 59,48 60,89 62,31 56,55 57,97 59,38 60,80 56,46 |
41,83 42,31 42,78 43,26 41,65 42,12 42,60 41,47 42,83 43,30 43,78 44,25 42,17 42,64 43,12 41,99 42,46 43,35 43,82 44,30 44,77 43,16 43,64 44,11 42,98 43,46 44,34 44,82 45,29 45,77 43,68 44,16 44,63 45,11 43,50 |
203,41 203,91 204,41 204,91 203,96 204,46 204,96 204,51 203,47 203,97 204,47 204,97 293,51 204,01 204,51 204,06 204,56 203,02 203,52 204,02 204,52 203,57 204,07 204,57, 204,12 204,62 203,08 203,58 204,08 204,58 203,12 203,62 204,12 204,62 203,67 |
Продовження таблиці 3.5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
595 600 600 600 600 600 600 |
461 455 455 455 458 458 461 |
510 500 505 510 505 510 510 |
45,95 44,98 46,27 47,56 44,49 45,78 43,99 |
48,43 46,47 48,04 49,61 46,37 47,94 46,28 |
55,60 53,34 55,60 57,86 53,53 55,79 53,72 |
58,94 58,08 60,06 62,04 57,59 59,57 57,10 |
57,87 60,41 61,82 63,24 58,90 60,31 57,39 |
43,98 45,81 46,29 46,76 45,15 45,63 44,50 |
204,17 203,63 204,13 204,63 203,68 204,18 203,73 |
Таблиця 3.6
|
|
|
|
|
|
|
0,76 0,89 1,00 1,00 0,84 0,97 1,00 0,92 0,70 0,83 0,96 1,00 0,65 0,78 0,91 0,73 0,86 0,50 0,63 0,76 0,89 0,58 0,71 0,84 0,66 0,79 0,44 0,56 |
0,43 0,58 0,72 0,86 0,57 0,71 0,85 0,70 0,38 0,52 0,67 0,81 0,37 0,52 0,66 0,51 0,65 0,19 0,33 0,47 0,61 0,32 0,46 0,61 0,45 0,60 0,13 0,28 |
0,32 0,51 0,70 0,88 0,52 0,71 0,90 0,73 0,35 0,54 0,73 0,92 0,37 0,55 0,74 0,57 0,76 0,19 0,38 0,57 0,76 0,40 0,59 0,77 0,60 0,79 0,23 0,41 |
0,58 0,73 0,88 1,00 0,69 0,85 1,00 0,81 0,59 0,74 0,89 1,00 0,55 0,70 0,86 0,67 0,82 0,45 0,60 0,75 0,91 0,56 0,72 0,87 0,68 0,83 0,46 0,61 |
0,41 0,51 0,61 0,71 0,40 0,50 0,60 0,39 0,47 0,57 0,67 0,78 0,36 0,47 0,57 0,36 0,46 0,44 0,54 0,64 0,74 0,43 0,53 0,63 0,42 0,53 0,50 0,61 |
0,37 0,46 0,56 0,65 0,33 0,42 0,52 0,29 0,57 0,66 0,76 0,85 0,43 0,53 0,62 0,40 0,49 0,67 0,76 0,86 0,95 0,63 0,73 0,82 0,60 0,69 0,87 0,96 |
0,92 0,82 0,72 0,62 0,81 0,71 0,61 0,70 0,91 0,81 0,71 0,61 0,90 0,80 0,70 0,79 0,69 1.00 0,90 0,80 0,70 0,89 0,79 0,69 0,78 0,68 0,98 0,88 |
Продовження таблиці 3.6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,69 0,82 0,39 0,52 0,64 0,77 0,47 0,59 0,50 0,63 0,76 0,45 0,58 0,40 |
0,42 0,56 0,13 0,27 0,41 0,55 0,26 0,40 0,22 0,37 0,51 0,22 0,36 0,21 |
0,60 0,79 0,24 0,43 0,62 0,81 0,44 0,63 0,45 0,63 0,82 0,46 0,65 0,48 |
0,76 0,92 0,42 0,57 0,73 0,88 0,54 0,69 0,62 0,77 0,93 0,58 0,74 0,55 |
0,71 0,81 0,40 0,50 0,60 0,70 0,39 0,49 0,67 0,77 0,87 0,56 0,67 0,46 |
1,00 1,00 0,74 0,83 0,93 1.00 0,70 0,80 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,90 |
0,78 0,68 0,98 0,88 0,78 0,68 0,87 0,77 0,87 0,77 0,67 0,87 0,76 0,85 |
Таблиця 3.7
D1 |
D2 |
D3 |
D4 |
D5 |
0,367 0,462 0,557 0,618 0,330 0,425 0,520 0,293 0,566 0,661 0,707 0,607 0,434 0,529 0,624 0,397 0,492 0,502 0,631 0,760 0,696 |
0,419 0,562 0,125 0,268 0,411 0,554 0,260 0,402 0,224 0,367 0,510 0,216 0,359 0,207 0,367 0,462 0,557 0,618 0,330 0,425 0,520 |
0,602 0,685 0,241 0,429 0,617 0,675 0,445 0,633 0,455 0,633 0,674 0,461 0,649 0,476 0,318 0,462 0,557 0,618 0,330 0,425 0,520 |
0,763 0,685 0,421 0,573 0,725 0,675 0,536 0,688 0,621 0,773 0,674 0,584 0,736 0,546 0,367 0,462 0,557 0,618 0,330 0,425 0,520 |
0,707 0,685 0,397 0,498 0,599 0,675 0,390 0,491 0,672 0,773 0,674 0,564 0,665 0,465 0,367 0,462 0,557 0,618 0,330 0,425 0,520 |
Продовження таблиці 3.7 |
||||
D1 |
D2 |
D3 |
D4 |
D5 |
0,582 0,711 0,686 0,596 0,677 0,436 0,565 0,694 0,685 0,386 0,515 0,644 0,675 0,466 0,595 0,498 0,627 0,674 0,449 0,578 0,339 |
0,293 0,381 0,524 0,666 0,607 0,373 0,515 0,624 0,397 0,492 0,186 0,329 0,471 0,614 0,320 0,463 0,606 0,455 0,597 0,134 0,276 |
0,293 0,350 0,538 0,707 0,607 0,366 0,529 0,624 0,397 0,492 0,193 0,382 0,570 0,696 0,397 0,586 0,686 0,596 0,677 0,225 0,413 |
0,293 0,566 0,661 0,707 0,607 0,434 0,529 0,624 0,397 0,492 0,448 0,600 0,753 0,696 0,563 0,715 0,686 0,596 0,677 0,458 0,611 |
0,293 0,473 0,574 0,675 0,607 0,365 0,466 0,567 0,358 0,459 0,438 0,539 0,640 0,696 0,431 0,532 0,633 0,424 0,526 0,504 0,606 |
Таблиця 3.8
|
|
|
|
|
J |
J* |
47,64 |
48,77 |
51,82 |
57,54 |
56,69 |
52,42 |
52,42 |
48,93 |
50,34 |
54,08 |
59,52 |
58,10 |
54,31 |
54,31 |
50,22 |
51,91 |
56,36 |
61,50 |
59,52 |
56,19 |
56,19 |
51,51 |
53,48 |
58,60 |
63,48 |
60,93 |
58,08 |
58,08 |
48,44 |
50,24 |
54,27 |
59,03 |
56,59 |
54,06 |
58,08 |
49,73 |
51,81 |
56,53 |
61,01 |
58,01 |
55,95 |
58,08 |
51,02 |
53,38 |
58,79 |
62,99 |
59,42 |
57,83 |
58,08 |
49,23 |
51,72 |
56,72 |
60,52 |
56,50 |
55,71 |
58,08 |
46,98 |
48,19 |
52,20 |
57,67 |
57,62 |
52,51 |
58,08 |
48,27 |
49,76 |
54,46 |
59,65 |
59,03 |
54,40 |
58,08 |
49,56 |
51,33 |
56,72 |
61,63 |
60,45 |
56,28 |
58,08 |
50,85 |
52,90 |
58,98 |
63,61 |
61,86 |
58,17 |
58,17 |
46,48 |
48,10 |
52,39 |
57,18 |
56,11 |
52,27 |
58,17 |
47,77 |
49,67 |
54,65 |
59,16 |
57,52 |
54,15 |
58,17 |
Продовження таблиці 3.8 |
||||||
|
|
|
|
|
J |
J* |
49,06 |
51,24 |
56,91 |
61,14 |
58,94 |
56,04 |
58,17 |
47,28 |
49,58 |
54,84 |
58,67 |
56,01 |
53,91 |
58,17 |
48,57 |
51,15 |
57,10 |
60,65 |
57,43 |
55,80 |
58,17 |
45,02 |
46,05 |
50,32 |
55,83 |
57,13 |
50,72 |
58,17 |
46,31 |
47,62 |
52,58 |
57,81 |
58,55 |
52,60 |
58,17 |
47,60 |
49,19 |
54,84 |
59,79 |
59,96 |
54,49 |
58,17 |
48,89 |
50,76 |
57,10 |
61,77 |
61,38 |
56,37 |
58,17 |
45,82 |
47,52 |
52,77 |
57,32 |
57,04 |
52,36 |
58,17 |
47,11 |
49,09 |
55,03 |
59,30 |
58,45 |
54,25 |
58,17 |
48,40 |
50,66 |
57,29 |
61,28 |
59,87 |
56,13 |
58,17 |
46,61 |
49,00 |
55,22 |
58,81 |
56,94 |
54,00 |
58,17 |
47,90 |
50,57 |
57,48 |
60,79 |
58,36 |
55,89 |
58,17 |
44,36 |
45,47 |
50,70 |
55,96 |
58,06 |
50,81 |
58,17 |
45,65 |
47,04 |
52,96 |
57,94 |
59,48 |
52,69 |
58,17 |
46,94 |
48,61 |
55,22 |
57,92 |
60,89 |
54,58 |
58,17 |
48,23 |
50,18 |
57,48 |
61,90 |
62,31 |
56,46 |
58,17 |
43,86 |
45,38 |
50,89 |
55,47 |
56,55 |
50,57 |
58,17 |
45,15 |
46,95 |
53,15 |
57,45 |
57,97 |
52,45 |
58,17 |
46,44 |
48,52 |
55,41 |
59,43 |
59,38 |
54,34 |
58,17 |
47,73 |
50,09 |
57,67 |
61,41 |
60,80 |
56,22 |
58,17 |
44,66 |
46,86 |
53,34 |
56,96 |
56,46 |
52,21 |
58,17 |
45,95 |
48,43 |
55,60 |
58,94 |
57,87 |
54,09 |
58,17 |
44,98 |
46,47 |
53,34 |
58,08 |
60,41 |
52,78 |
58,17 |
46,27 |
48,04 |
5560 |
60,06 |
61,82 |
54,67 |
58,17 |
47,56 |
49,51 |
57,86 |
62,04 |
63,24 |
56,55 |
58,17 |
44,49 |
46,37 |
53,53 |
57,59 |
58,90 |
52,54 |
58,17 |
45,78 |
47,94 |
55,79 |
59,57 |
60,31 |
54,43 |
58,17 |
Після
цього розв’язок задачі (3.54) – (3.55)
визначається в області
.
В цій області задача максимізації
критеріїв
являє собою звичайну задачу
багатокритеріальної оптимізації, для
її розв’язку застосований метод згортки
критеріїв з фіксованими пріоритетами
;
;
.
Значення критеріїв згортки
в
області D
показані в табл. 3.8. З таблиці бачимо, що
максимальному значенню згортки критеріїв
відповідає точка
,
де
;
;
.
В
цій точці значення цільових функцій
рівні:
;
;
;
;
.
Відхилення
від цієї точки погіршує значення цільових
функцій, а також згортки критеріїв J.
Наприклад, якщо взяти
;
;
,
то
;
;
;
;
,
для яких
.
Очевидно, що ці значення критеріїв значно менші оптимальних.