3.2 Оптимізація з нечіткими відносинами

Потрібно знайти

(3.4)

при обмеженнях

, . (3.5)

Тут – нечітке відношення.

Для вирішення завдання (3.4) – (3.5) може бути застосований підхід, запропонований в [24]: нехай значення цільової функції , досягнення якого вважається достатнім для виконання мети; d і порогові рівні такі, що нерівності і означають сильне порушення відповідних нерівностей і

Введемо нечіткі цілі і обмеження:

де , – деякі функції які описують ступінь виконання відповідних нерівностей, з погляду особи, що ухвалює рішення (ЛПР).

У окремому випадку можна використовувати наступні кусочно-лінійно функції приналежності:

В результаті початкове завдання виявляється сформульованим у формі завдання досягнення нечітко певної мети при нечітких обмеженнях, і для її вирішення може бути застосований підхід Беллмана-Заде. Функція приналежності нечіткого рішення:

(3.6)

а максимізуюче рішення

Припустимо, що функції і – лінійні, тобто розглянемо завдання нечіткого лінійного програмування з нечіткими відносинами:

або в векторній формі

(3.7)

де ,

Цільову функцію в (3.7) можна написати в вигляді нечіткого обмеження , де – бажане значення цільової функції для ЛПР. Максимізуючу множину цільової функції позначимо через . Функції приналежності нечітких множин , що описує нечітке обмеження, має вигляд

Тут , – суб’єктивно вибрана константа, визначаюча допустиме порушення -го обмеження.

Розв’язання рівняння (3.8) покажемо в виді

; , (3.9)

Максимізація еквівалентна розв’язку наступної задачі лінійного програмування:

(3.10)

при обмеженнях

, , . (3.11)

Постійна визначається розв’язком задачі (3.10) – (3.11) без і-го обмеження. Нехай буде його розв’язком, тоді, внісши його в (3.7), дістанемо

, (3.12)

де визначається як оптимальне значення цільової функції в наступній задачі лінійного програмування:

; ; ,

де .

Розглянемо задачу нечіткої оптимізації ректифікаційної колони установки ЕЛОУ-АВТ. Вихідним продуктом колони є нестабільний бензин . Збільшення виходу бензину досягається зміною температури верха і низу колони. Збурюючою дією є витрата сировини – нафти , температура сировини і густина нафти . На якість бензину накладається обмеження, яке формується нечітко, тобто «кінець кипіння бензину повинен бути не вище » і «початок кипіння бензину повинен бути нижче за ».

Математична залежність виходу бензину і його якості від керуючих параметрів і збурюючого впливу визначається з використанням рівняння множинної регресії:

Задача оптимізації процесу управління колоною базується на визначенні таких значень змінних та , при заданих значеннях збурюючи дій , щоб

(3.13)

при обмеженнях

(3.14)

(3.15)

Задача (3.13) – (3.15) представляє собою задачу нечіткого лінійного програмування з нечітким відношення типу чи . Напишемо цю задачу в стандартній формі:

;

При розв’язку задач оптимального керування технологічним процесом завжди існують планові обмеження на випуск продукції. З цього випливає, що завжди обмежений зверху, тому

,

де – планове обмеження на виробництво нестабільного бензину.

Враховуючи, що в нашому випадку не ставиться різниця між цільовою функцією і обмеженням, ставимо цільову функцію в вигляді обмеження:

. (3.16)

Таким чином, розв’язок задачі (3.13) – (3.15) зводиться до розв’язку наступної задачі:

;

; (3.17)

,

де

; ; ;

Визначимо множину розв’язків задачі (3.17). З цією ціллю вирахуємо значення функції в заданій області (3.15) при заданих значеннях збурюючи впливів ; ;

Результати розрахунку на ЕОМ СМ-4 з постійним кроком ; наведені в таблиці 3.1.

Знайшовши множину допустимих розв’язків задачі (3.17), визначаємо допустимі границі порушення границь (3.14) – (3.16). Це можна визначити в діалозі ЛПР (технолога-оператора процесу). Нехай

Тоді функція належності нечітких множин , що описує нечіткі цілі і обмеження (3.17), буде мати вигляд:

Таблиця 3.1

140	250	125,653	180,503	28,975
140	252	125,873	180,395	28,807
140	254	126,063	180,287	28,639
140	256	126,313	180,179	28,471
140	258	126,533	180,071	28,303
140	260	126,753	179,963	28,135
144	250	125,473	180,351	29,175
144	252	125,693	180,243	29,007
144	254	125,913	180,135	28,839
144	256	126,133	180,027	28,671
144	258	126,353	179,919	28,503
144	260	126,573	179,811	28,335
148	250	125,293	180,199	29,375
148	252	125,513	180,091	29,207
148	254	125,733	179,983	29,039
148	256	125,953	179,875	28,871
148	258	126,173	179,767	28,703
148	260	126,393	179,659	28,535
152	250	125,113	180,047	29,575
152	252	125,333	179,939	29,407
152	254	125,553	179,831	29,239
152	256	125,773	179,723	29,071
152	258	125,993	179,615	28,903
152	260	126,213	179,507	28,735
156	250	124,933	179,895	29,775
156	252	125,153	179,787	29,607
156	254	125,373	179,679	29,439
156	256	125,593	179,571	29,271
156	258	125,813	179,463	29,103
156	260	126,033	179,355	28,935
160	250	124,754	179,743	29,975
Продовження таблиці 3.1
160	252	124,974	179,635	29,807
160	254	125,194	179,527	29,639
160	256	125,414	179,419	29,471
160	258	125,633	179,311	29,303
160	260	125,854	179,203	29,135

Виключимо з множини розв’язків всі значення , для яких ; ; . В результаті отримаємо множину допустимих розв’язків, які представлені в таблиці 3.2.

Таблиця 3.2

140	252	125,87	180,39	28,81
140	254	126,09	180,29	28,64
144	250	125,47	180,35	29,18
144	252	125,69	180,24	29,01
144	254	125,91	180,13	28,84
144	256	126,13	180,03	28,67
144	258	126,35	179,92	28,50
148	250	125,29	180,20	29,38
148	252	125,51	180,09	29,21
148	254	125,73	179,98	29,04
148	256	125,95	179,88	28,87
148	258	126,17	179,77	28,70
148	260	126,39	179,66	28,54
152	250	125,11	180,05	29,58
Продовження таблиці 3.2
152	252	125,33	179,94	29,41
152	254	125,55	179,83	29,24
152	256	125,77	179,72	29,07
152	258	125,99	179,61	28,90
152	260	126,21	179,51	28,74
156	250	124,93	179,90	29,78
156	252	125,15	179,79	29,61
156	254	125,37	179,68	29,44
156	256	125,59	179,57	29,27
156	258	125,81	179,46	29,10

Визначимо ступінь приналежності елементів безлічі допустимих рішень D, для яких виконується нерівність

За формулами:

Результати обчислень наведені в таблиці 3.3.

Таблиця 3.3

(140,252)	0,873	0,790	0,000
(140,254)	1,000	0,574	0,000
(144,250)	0,000	0,702	0,175
(144,252)	0,693	0,486	0,007
(144,254)	0,913	0,270	0,000
(144,256)	1,000	0,054	0,000
(144,258)	1,000	1,000	0,000
(148,250)	0,000	0,393	0,375
(148,252)	0,513	0,182	0,207
(148,254)	0,733	1,000	0,039
(148,256)	0,953	1,000	0,000
(148,258)	1,000	1,000	0,000
(148,260)	1,000	1,000	0,000
(152,250)	0,000	0,094	0,575
Продовження таблиці 3.3
(152,252)	0,000	1,000	0,407
(152,254)	0,533	1,000	0,239
(152,256)	0,773	1,000	0,071
(152,258)	0,993	1,000	0,000
(152,260)	1,000	1,000	0,000
(156,250)	0,000	1,000	0,775
(156,252)	0,000	1,000	0,607
(156,254)	0,000	1,000	0,439
(156,256)	0,593	1,000	0,271
(156,258)	0,813	1,000	0,103
(156,260)	1,000	1,000	0,000
(160,250)	0,000	1,000	0,975
(160,252)	0,000	1,000	0,807
(160,254)	0,000	1,000	0,639
(160,256)	0,000	1,000	0,471
(160,258)	0,663	1,000	0,303
(160,260)	0,854	1,000	0,135

Безліч рішень D* задачі (3.17) визначається перетином нечітких множин тобто

або

Це рішення представлене в таблиці 3.4. Його можна представити у вигляді наступної нечіткої множини:

D*=0/(140,252)+0/(140,254)+0/(144,250)+0.007/(144,252)+0/(144,254)+

+0/(144,256)+0/(144,258)+0/(148,250)+0,182/(148,252)+0,039+(148,254)+

+0/(148,256)+0/(148,258)+0/(148,260)+0/(152,250)+0/(152,252)+

+0,239/(152,254)+0,071/(152,256)+0/(152,258)+0/(152,260)+0/(156,250)+

+0/(156,252)+0/(156,254)+0,272/(156,256)+0,103/(156,258)+0/(156,260)+

+0/(160,250)+0/(160,252)+0/(160,254)+0/(160,156)+0.303/(160,258)+

+0,135/(160,260)

або

D*=0,007/(144,252)+0,182/(148,252)+0,039/(148,254)+0,239/(152,254)+

+0,071/(152,256)+0,271/(156,256)+0,103/(156,258)+0,303/(160,258)+

+0,135/(160,260).

В якості оптимального обирають точку, що належить D* з максимальним ступенем приналежності:

Таблиця 3.4

(140,252)	0,000		(152,256)	0,071
(140,254)	0,000		(152,258)	0,000
(144,250)	0,000		(152,260)	0,000
(144,252)	0,007		(156,250)	0,000
(144,254)	0,000		(156,252)	0,000
(144,256)	0,000		(156,254)	0,000
(144,258)	0,000		(156,256)	0,271
(148,250)	0,000		(156,258)	0,103
(148,252)	0,182		(156,260)	0,000
(148,254)	0,039		(160,250)	0,000
(148,256)	0,000		(160,252)	0,000
(148,258)	0,000		(160,254)	0,000
(148,260)	0,000		(160,256)	0,000
(152,250)	0,000		(160,258)	0,303
(152,252)	0,000		(160,260)	0,135
(152,254)	0,239

Відповідно, максимальне рішення задачі буде

При цьому .