Хвильове рівняння

Розглянемо рівняння гіперболічного типу

яке задовольняє початкові умови

,

та граничні умови

,

, де

Класичним прикладом такої задачі є задача коливання струни довжиною , з рухомими кінцями, для якої відомий її стан в початковий момент часу .

Зауваження. Якщо зробити заміну то отримаємо рівняння

яке і розглядатимемо далі.

Виберемо крок по та по і побудуємо сітку Дискретизуємо початкові та граничні умови. Отримаємо

, ,

, .

Замінимо в заданому рівнянні частинні похідні скінченними різницями. Отримаємо рівняння

Звідси

Побудовану схему називають явною скінчено-різницевою схемою.

Зауваження. Для того, щоб різницева схема була стійка та збігалась до розв’язку необхідно, щоб для вибраних кроків виконувались нерівності

Якщо вибрати кроки так, щоб , то будемо мати

Приклад 3. Методом сіток розв’язати рівняння

,

Розв’язання. Виберемо рівні кроки .

Тоді скінченно-різницеве рівняння буде мати вигляд

Порахуємо значення функції в граничних вузлах.

З початкової умови будемо мати (значення першого рядка таблиці)

Дискретизуємо другу початкову умову:

З останньої формули будемо мати (значення першого рядка таблиці)

З граничної умови отримаємо (значення першого стовпця таблиці)

, , , , ;

a з граничної умови будемо мати (значення останнього стовпця таблиці)

, ,

Обчислимо значення функції у внутрішніх вузлах. Значення третього рядка таблиці:

Обчислимо значення четвертого рядка таблиці

Аналогічно обчислюємо значення в наступних рядках.

Результати обчислень значення функції занесемо в таблицю:

	i	0	1	2	3	4
j	xi tj	0,00	0,25	0,50	0,75	1,0
0	0,00	0,00	0,25	0,50	0,75	1,00
1	0, 25	0,25	0,00	0,75	0,50	1,25
2	0,50	0,50		0,00		1,50
3	0,75	0,75	0,50	1,25	1,00	1,75
4	1,00	1, 00	1,25	1,50	1,75	2,00

Індивідуальні завдання

Задача 1. Знайти розв’язок задачі Діріхле

у квадраті з вершиною у початку координат (сторона квадрата а = 1, крок h = 0,25), яка задовольняє умовам

N варіанту	Крайові умови
	x = 0	x = 1	y = 0	y = 1
1	0	2y(y – 1)	2x(x – 1)	2x(x – 1)
2	6y	0	6x
3	5y	5 y2	5x(x – 1)	5
4	1 – y2	y		x
5	2	2y	2(1 – x2)	2
6	y	0	0
7	0	siny	x(x – 1)	0
8		6y	6x
9	7y	y	7x(x – 1)	7 – 6x2
10	6y		6x
11	9y	0	0	9cos
12		4y	4 – 4x	4x
13	2y	0	0	2 – 2sin
14	0	3siny	3x(x – 1)	0
15	0	3y(y – 1)	2x(x – 1)	4x(x – 1)

Задача 2.Методом сіток знайти розв’язок рівняння теплопровідності

,

яке задовольняє граничні умови

N варіанту	Задача
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Задача 3.Методом сіток знайти розв’язок хвильового рівняння

,

яке задовольняє граничні умови, якщо

N варіанту	Задача
1	,
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11	,
12
13	,
14
15	,