МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Національний університет «Львівська політехніка»
Диференціальні рівняння з частинними похідними.
Метод сіток
ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
до лабораторної роботи № 11 з курсу
«Чисельні методи»
для базового напрямку «Прикладна фізика»
Затверджено
на засіданні кафедри
обчислювальної математики та програмування
Протокол № від
ЛЬВІВ – 2011
Теоретичні відомості
Диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку з двома незалежними змінними в загальному випадку має вигляд
де – незалежні змінні, – шукана функція, – частинні похідні.
Рівняння першого степеня щодо шуканої функції і всіх її похідних, яке не містить їх добутків, називають лінійним. Таке рівняння можна записати у вигляді
де коефіцієнти можуть залежати лише від х та у.
Якщо коефіцієнти не залежать від х та у, то таке рівняння називають лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами.
Для повного опису фізичного процесу потрібно крім самого рівняння з частинними похідними задати початковий стан процесу (початкові умови) і режим на границі області (граничні умови). Початкові та граничні умови дають змогу визначити єдиний розв’язок диференціального рівняння.
Розрізняють три типи лінійних диференціальних рівнянь:
еліптичного типу ( );
параболічного типу ( );
гіперболічного типу ( ).
Відшукання розв’язку лінійного диференціального рівняння в частинних похідних методом сіток можна поділити на декілька етапів:
дискретизація області (побудова сітки);
дискретизація рівняння (заміна частинних похідних їх скінченними різницями);
дискретизація граничних і початкових умов;
визначення значення функції у вузлах сітки.
Побудова сітки
Розглянемо один із простіших способів побудови сітки.
Нехай на площині є деяка область з границею Г. Побудуємо на площині дві сім’ї паралельних прямих
точки перетину цих прямих називають вузлами сітки.
Д ва вузли називають сусідніми, якщо вони віддалені один від одного на відстань кроку у відповідному напрямку. Сукупність сусідніх з вузлом вузлів
утворюють п’ятиточкову зірку з центром в точці
Вузол називають внутрішнім вузлом, якщо всі вузли його зірки лежать в області + Г.
Вузол називають граничним вузлом, якщо хоча б один із вузлів зірки не належить області + Г.
Значення шуканої функції у вузлах сітки позначатимемо .
Дискретизація рівняння
В кожному внутрішньому вузлі замінимо частинні похідні скінченними різницями, тобто
В граничних точках слід використовувати формули
Задача Діріхле
Нехай задано рівняння Пуассона
,
яке на межі області задовольняє граничні умови
Таку крайову задачу називають задачею Діріхле.
Побудувавши сітку Нехай Замінивши частинні похідні скінченними різницями, отримаємо рівняння
Підставляючи в це рівняння конкретні значення i, j отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яку розв’язуємо одним із відомих методів.
Якщо , то таке рівняння називають рівнянням Лапласа.
Приклад 1. Розв’язати граничну задачу
,
Р озв’язування. Маємо Нехай Проведемо дискретизацію області та порахуємо значення функції в граничних вузлах. З граничної умови отримаємо
, , , , ;
з граничної умови будемо мати
, ,
, , ;
з граничної умови будемо мати
, , , , ;
з останньої граничної умови :
, , , , .
Значення у внутрішніх вузлах визначимо за формулою
Отже,
Складемо систему з дев’яти рівнянь. Отримаємо
,
Розв’язавши систему, отримаємо
, , ,
, , ,
, , .
Отже, розв’язком даної задачі буде (значення функції у вузлах сітки)
Задача теплопровідності
Розглянемо рівняння параболічного типу
яке задовольняє початкову умову
та граничні умови
,
, де
Класичним прикладом такої задачі є задача теплопровідності або дифузії.
Зауваження. Якщо зробити заміну то отримаємо рівняння
яке і розглядатимемо далі.
Побудуємо сітку та дискретизуємо початкову та граничні умови. Отримаємо
, , .
Я кщо для дискретизації рівняння скористатись правими різницями, то отримаємо скінченно-різницеве рівняння
Тоді
Побудовану схему називають явною скінчено-різницевою схемою.
Зауваження. Для того, щоб явна скінченно-різницева схема була стійка та збігалась до розв’язку необхідно, щоб для вибраних кроків виконувались нерівності
Я кщо для дискретизації рівняння скористатись лівими різницями, то отримаємо скінченно-різницеве рівняння
Тоді
Таку схему називають неявною скінчено-різницевою схемою.
Якщо вибрати кроки так, щоб , то у випадку явної схеми будемо мати
а у випадку неявної –
Якщо для явної схеми вибрати , то отримаємо
Приклад 2. Розв’язати рівняння методом сіток
,
Розв’язання. Виберемо крок по осі х і нехай
Отже,
Тоді скінченно-різницеве рівняння буде мати вигляд
Порахуємо значення функції в граничних вузлах.
З початкової умови будемо мати
З граничної умови отримаємо
, , , , ;
a з граничної умови будемо мати
, ,
Обчислимо внутрішні значення
Результати обчислень значення функції занесемо в таблицю:
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
j |
xi tj |
0,0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
0 |
0,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1 |
0,125 |
1,125 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,125 |
2 |
0,250 |
1,250 |
|
1,000 |
|
1,250 |
3 |
0,375 |
1,375 |
1,125 |
1,063 |
1,125 |
1,375 |
4 |
0,500 |
1,500 |
1,219 |
1,125 |
1,219 |
1,500 |
Розв’язана гранична задача описує розподіл температури в однорідному стержні довжиною 2, а отримані результати - характер охолодження стержня з бігом часу.