Для понятия ``высказывание'' иногда используют термин ``пропозиция'', что является калькой с английского. Мы этот термин не используем, но говорим ``пропозициональный'' в смысле относящийся к логике высказываний. Центральными понятиями данной части являются пропозициональные формулы и пропозициональный вывод.

Объектный язык и метаязык

Сначала несколько общих замечаний. В логике важно различать два языка: тот, который является объектом нашего изучения, и тот, который мы используем, чтобы говорить об этом объекте. Первый называется объектным языком, второй – метаязыком. В нашем изложении логики высказываний объектный язык – это формальный язык пропозициональных формул, а метаязык – обычный неформальный язык математики – смесь русского и математических обозначений.

Пропозициональные формулы будут определены как конечные последовательности символов, взятых из определенного алфавита. Можно развить теорию конечных последовательностей на строго аксиоматической основе, но мы не будем здесь делать это. В доказательствах метатеорем мы будем свободны использовать любые хорошо известные свойства натуральных чисел которые нам могут потребоваться, не доказывая их на основе аксиом арифметики (из части 1).

Пропозициональные формулы

Пропозициональная сигнатура – это множество символов, называемых атомами. Символы ¬ (отрицание), & (конъюнкция), (дизъюнкция) и  (импликация) называются пропозициональными связками; ¬ – унарная связка, а другие – бинарные.

Возьмём непустую пропозициональную сигнатуру  , которая не содержит ни пропозициональных связок, ни скобки (, ). Алфавит пропозициональной логики состоит из атомов сигнатуры , пропозициональных связок и скобок. Под строкой мы понимаем конечную последовательность (строку) символов в этом алфавите.

Чтобы определить понятие пропозициональной формулы, нам требуется следующее вспомогательное определение.

Определение 7. Множество X строк замкнуто относительно правил построения (для логики высказываний), если

• каждый атом принадлежит X,

• для любой строки F, если F принадлежит X, то ¬F тоже принадлежит,

• для любых строк F, G и любой бинарной связки , если F и G принадлежат X, то также принадлежит (F  G).

2.1 Укажите два примера множества строк: одно замкнутое, другое не замкнутое относительно правил построения.

Определение 8 (Формула). Строка F называется пропозициональной формулой, если F принадлежит всем множествам, которые замкнуты относительно правил построения.

2.2 Множество формул замкнуто относительно правил построения.

Определение формулы показывает, что множество формул является наименьшим множеством строк, замкнутых относительно правил построения; то есть, любое другое такое множество включает в себя множество формул.

В двух следующих задачах мы предполагаем, что рассматриваемая сигнатура – это {p, q}.

2.3 Является ли формулой ¬(p & q)?

2.4 Является ли формулой (p)?

Следующие два раздела обосновывают корректность понятий, вводимых ниже.

Доказательство свойств формул по индукции

Разбор формул

Семантика

В этом и следующем разделах мы работаем с  булевыми функциями, которые используются в интерпретациях формул логики высказываний.^*

Определение 10 (Интерпретация). Символы л,и (``ложь'', ``истина'') называются истиностными значениями. Интерпретацияпропозициональной сигнатуры  есть функция из  в {л,и}.

Если  конечна, тогда интерпретация может быть определена таблицей её значений, например:

p q л и

(3)

Семантика логики высказываний, которую мы собираемся ввести, определяет какие истиностные значения назначены формуле Fинтерпретацией I.

Прежде всего нам надо связать функцию с каждой пропозициональной связкой – функцию из {л,и} в {л,и} с унарной связкой ¬ и функцию из {л,и} {л,и} в {л,и} с каждой бинарной связкой. Функции определяются следующими таблицами:

x ¬(x) л и и л

x y &(x, y) (x, y) (x, y) л л л л и л и л и и и л л и л и и и и и

^*

Для любой формулы F и любой интерпретации I истиностное значение F^I , назначенное формуле F интерпретацией I, определяется как значение  суперпозиции соответствующих булевых функций, а именно, следующим образом:

• F^I = I(F) если F – атом,

• (¬F )^I = ¬(F^I),

• (F  G)^I = (F^I,G^I) для каждой бинарной связки .

Заметим, что это определение рекурсивно: (¬F)^I определяется через F^I и (F  G)^I – через F^I и G^I.

Если F^I = и, мы говорим, что формула F истинна при интерпретации I (символически I |= F ).

2.10 Найдите формулу F такую, что (3) – единственная интерпретация, при которой F истинна.

Если рассматриваемая сигнатура конечна, тогда множество интерпретаций тоже конечно, и значения F^I для всех интерпретаций можно представить в виде конечной таблицы. Эта таблица называется таблицей истинности формулы F. Например, предыдущая задача может быть сформулирована следующим образом: найти формулу, таблицей истинности которой является

p	q
л	л	л
л	и	и
и	л	л
и	и	л

2.11 Для любых формул F1,...,F_n (n  1) и любой интерпретации I

(F1 & ··· & F_n)^I = и тогда и только тогда, когда F^I1 = ··· = F^I_n = и.

2.12 Сформулируйте и докажите подобный факт для дизъюнкции F1  ···  F_n.

В двух следующих задачах мы предполагаем, что рассматриваемая сигнатура конечна:  = { p1, ..., p_n}.

2.13 Для любой интерпретации I существует формула F такая, что I – единственная интерпретация, при которой F истинна.

2.14 Для любой функции  из интерпретаций в истинстные значения существует формула F такая, что для всех интерпретаций I: F^I = (I).

Другими словами, любая таблица истинности может быть представлена пропозициональной формулой. В этом смысле множество пропозициональных связок, которое мы ввели ``полно''.