3.2. Принятие решений в условиях повторяющейся одноуровневой конфликтной ситуации (элементы теории стратегических игр)

Для того чтобы сделать возможным математический анализ конфликтной ситуации, ее необходимо упростить, учтя только основные факторы. Упрощенная схематизированная модель конфликтной ситуации называется игрой.

От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам.

Правила игры представляют собой систему условий, регламентирующих весь процесс развития игры. В частности, правилами игры, определяются возможные варианты (способы) действий каждой и оперирующих сторон в конфликтной ситуации. В математической теории игр предполагается, что правила игры (в том числе и возможные варианты действий) известны каждой из оперирующих сторон и неукоснительно ими выполняются.

Стороны, участвующие в конфликте, условно именуются игроками, а оценка исхода конфликта – выигрышем (или проигрышем, платежом). Игроками могут быть как отдельные личности, так и целые коллективы, имеющие общие цели.

В игре могут сталкиваться интересы двух и более противников. В первом случае игра называется парной, во втором - множественной. Участники множественной игры могут образовывать постоянные или временные коалиции. Множественная игра с двумя постоянными коалициями обращается в парную игру.

Наиболее простой и теоретически разработанной игрой является парная антагонистическая игра. В ней участвуют два игрока, преследующих прямо противоположные цели. Парная антагонистическая игра относится к классу так называемых игр с нулевой суммой. В этих играх сумма выигрышей всех оперирующих сторон равна нулю: один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает второй.

Каждый случай разыгрывания игры некоторым конкретным образом от начала и до конца представляет собой индивидуальную партию игры.

Поскольку рекомендации теории игр по выбору оптимального поведения основаны на предположении о многократной повторяемости конфликта, то оптимальное в соответствии с рекомендациями теории игр поведение участников конфликтной ситуации является оптимальным «в среднем» (на множестве партий игры).

3.3. Формальное описание парной антагонистической игры

Парная игра разыгрывается между двумя игроками. Будем именовать их игрок 1 и игрок 2. Кроме того, условимся в дальнейшем, выступая в роли ЛПР, рассуждать и действовать на стороне игрока 1; при этом игрок 2 будет выступать в роли «противника».

Обозначим через X и Y множества возможных стратегий игрока 1 и игрока 2 соответственно. Величины x Є X и y Є Y будут обозначать конкретные стратегии игроков 1 и 2. Каждая конкретная стратегия игрока представляет собой некоторую совокупность указаний, определяющих последовательность его личных ходов в некоторой конкретной партии игры.

Игра может содержать, кроме личных ходов, и случайные ходы. Обозначим через H множество случайных стратегий. Любая конкретная стратегия hЄH представляет собой некоторую последовательность всех случайных ходов в некоторой конкретной партии игры. Каждая конкретная стратегия h будет происходить с некоторой вероятностью P(h), которая может быть подсчитана на основании вероятностей каждого случайного хода в этой последовательности; последние задаются правилами игры.

Функция P(h) представляет собой распределение вероятностей на пространстве H и должна удовлетворять условиям:

P(h) ≥ 0, (3.1)

Обозначим через g некоторый конкретный вариант игры, то есть некоторую индивидуальную партию игры. Каждая партия игры будет определена, если выбраны стратегии игроков 1 и 2, то есть xЄX и yЄY, и стратегия случайных ходов hЄH. Следовательно, всякая конкретная партия g игры определяется тремя элементами x, y, h.

Будем условно обозначать конкретную партию игры в виде

g = (x, y, h) (3.2)

Результатом партии игры является выигрыш (или проигрыш) каждого из игроков. Этот результат не всегда имеет количественное выражение. Однако для получения количественных оценок принимаемых решений результат игры необходимо хотя бы условно, представить числом (например, выигрыш – 1, проигрыш – 0, ничья – 0,5).

Рассмотрим одну из конкретных партий игры g = (x, y, h) и обозначим через L₁ (x, y, h) и L₂ (x, y, h) величины проигрыша первого и второго игрока соответственно. Условимся проигрышу приписывать знак «+», а выигрышу –

«-», то есть выигрыши рассматривать как отрицательные проигрыши. Общая сумма L_∑ (x, y, h) проигрышей обоих игроков в партии g = (x, y, h) равна

L_∑ (x, y, h) = L₁ (x, y, h) + L₂ (x, y, h) (3.3)

В парной антагонистической игре общая сумма проигрышей L_∑ (x, y, h) равна нулю: проигрыш одного игрока – выигрыш другого.

Проигрыш игрока 2 в теории игр называется потерями. С их помощью оценивают результат игры. Обозначим потери как L (x, y, h). Очевидно, что

L (x, y, h) = L₂ (x, y, h) = - L₁ (x, y, h) (3.4)

Поскольку стратегия h является случайной, то при выбранных стратегиях x и y игроков 1 и 2 потери L (x, y, h) будут случайной величиной с распределением вероятностей P(h) на множестве H случайных стратегий. Чтобы оценить выбранные стратегии x и y игроков на бесконечном множестве партий игры, прибегнем к приему усреднения потерь L (x, y, h) по всему множеству случайных стратегий H, для чего введем понятие средних потерь L_ср(x, y), определяемых по формуле для математического ожидания случайной величины:

L_ср (x, y) = (3.5)

Функция L_ср (x, y) в теории игр называется функцией средних потерь или просто функцией потерь. Очевидно, что при многократном повторении партий игры с одними и теми же конкретными стратегиями x и y игроков суммарный проигрыш игрока 2 (а значит и суммарный выигрыш игрока 1) стремится к величине функции средних потерь L_ср (x, y). В этом смысле последняя является характеристикой качества стратегий игроков (результат игры как бы «очищается» от влияния случайных стратегий h Є H).

В теории игр принято считать, что парная антагонистическая игра формально определена, если перечислены все возможные стратегии игроков 1 и 2, то есть заданы множества стратегий X и Y, и для любых конкретных стратегий x Є X и y Є Y определена функция потерь L_ср (x, y). Таким образом, мы приходим к следующему формальному определению игры:

Игра G определяется тремя элементами X, Y, L_ср, что условно можно записать в виде

G = (X, Y, L_ср) (3.6)

Игры, в которых каждый игрок имеет конечное число стратегий (конечные игры), удобно задавать с помощью так называемых матриц потерь. В случае игры с нулевой суммой достаточно задавать одну матрицу. Пусть G – некая конечная игра с нулевой суммой, в которой игрок 1 имеет m возможных стратегий, игрок 2 – n возможных стратегий, то есть X и Y есть конечные множества.

X = {x₁, x₂, … x_n},

Y = {y₁, y₂, … y_n}.

Тогда матрица порядка m*n

, (3.7)

элемент которой q_ij = L_ср (x_i, y_i), называется матрицей потерь. Элемент матрицы q_ij, очевидно, имеет смысл средних потерь игрока 2 при реализации игроками стратегии x_i и y_i, иначе – среднего платежа игрока 2 игроку 1, если игрок 1 предпринимает стратегию x_i, а игрок 2 – стратегию y_i. Отсюда другое название матрицы потерь – платежная матрица.

С использованием платежной матрицы Q конечная парная антагонистическая игра G может быть формально определена тремя элементами X, Y, Q, что условно можно записать в виде:

G = (X, Y, Q) (3.8)

где

X = {x_i}, i Є 1,m – m-мерное множество возможных стратегий игрока 1;

Y = {y_i}, j Є 1,n – n-мерное множество возможных стратегий игрока 2;

Q = {q_ij}, i Є 1,m j Є 1,n – платежная матрица размера m*n.

Задание игры в виде 3.6 или 3.8 определяет ее в том только смысле, что задает все возможные стратегии обоих игроков и определяет средний результат игры для каждого возможного сочетания стратегий. Непосредственное же разыгрывание каждой партии игры g = (x, y, h) регламентируется правилами игры, определяющими порядок чередования ходов и признак окончания партии игры, объем информации каждого игрока о поведении других игроков, а также сведения о случайных ходах в игре и вероятностях их возможных исходов.

Основная теорема теории игр – теорема о существовании решения игры – гласит: любая конечная антагонистическая игра имеет решение, то есть оптимальные стратегии для обоих игроков и соответствующую цену игры. Решение конечной парной антагонистической игры лежит в области чистых или смешанных стратегий. Решение в чистых стратегиях имеет место в играх с седловой точкой. Если же игра не имеет седловой точки, то ее решение лежит в области смешанных стратегий.