- •Е.Г. Романова Дифференциальная геометрия
- •Содержание
- •1. Векторная функция скалярного аргумента
- •1.1. Определение вектор-функции. Предел. Непрерывность
- •1.2. Дифференцирование вектор-функции
- •1.3. Интеграл от векторной функции по скалярному аргументу
- •2. Сведения из теории кривых
- •2.1. Элементарная кривая
- •2.2. Касательная прямая к кривой
- •2.3. Соприкасающаяся плоскость кривой
- •2.4. Длина дуги как параметр
- •2.5. Кривизна кривой
- •2.6. Кручение кривой
- •2.7. Формулы Френе
- •3. Теория поверхностей в дифференциальной геометрии
- •3.1. Элементарная поверхность
- •3.2. Регулярная поверхность
- •3.3. Кривые на поверхности
- •3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •3.5. Измерение на поверхности длин, углов, площадей. Первая квадратичная форма поверхности
- •3.6. Площадь поверхности
- •3.7. Вторая квадратичная форма поверхности
- •3.8. Кривизна кривой, лежащей на поверхности
- •3.9. Главные направления и кривизны поверхности
- •3.10. Внутренняя геометрия поверхности
- •Литература:
3.10. Внутренняя геометрия поверхности
Утверждение 3.1. Две поверхности являются изгибаемыми одна в другую, если в некоторых параметризациях их первые квадратичные формы совпадают.
Совокупность тех свойств поверхности, которые не меняются при ее изгибании, называется внутренней геометрией поверхности. Две поверхности изгибаемы друг в друга в том и только том случае, если на них можно ввести одну и ту же первую квадратичную форму. Две различные поверхности могут иметь одну и ту же внутреннюю геометрию. Например, плоскость и параболический цилиндр.
Следовательно, к внутренней геометрии поверхности относятся те, и только те ее свойства, которые могут быть выражены через первую квадратичную форму. Т.е., например, длины линий, лежащих на поверхности; полная кривизна K поверхности. Далее, поскольку угол между линиями на поверхности и площадь поверхности выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы, то эти величины также относятся к внутренней геометрии. В то же время ни средняя кривизна, ни главные кривизны при изгибании не сохраняются.
Внутренняя геометрия плоскости – это обычная планиметрия, которую все изучают в школе. Однако, все теоремы планиметрии останутся верны, если вместо плоскости рассматривать любую наложимую на нее поверхность, скажем параболический цилиндр. А вот внутренняя геометрия сферы существенно отличается от геометрии плоскости: например, на сфере сумма углов треугольника всегда больше, чем π.
Литература:
Атанасян А.С., Базылев В.Т. Геометрия Ч. 1, 2. – М.: 1987.
Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1969.
Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956.