- •Е.Г. Романова Дифференциальная геометрия
- •Содержание
- •1. Векторная функция скалярного аргумента
- •1.1. Определение вектор-функции. Предел. Непрерывность
- •1.2. Дифференцирование вектор-функции
- •1.3. Интеграл от векторной функции по скалярному аргументу
- •2. Сведения из теории кривых
- •2.1. Элементарная кривая
- •2.2. Касательная прямая к кривой
- •2.3. Соприкасающаяся плоскость кривой
- •2.4. Длина дуги как параметр
- •2.5. Кривизна кривой
- •2.6. Кручение кривой
- •2.7. Формулы Френе
- •3. Теория поверхностей в дифференциальной геометрии
- •3.1. Элементарная поверхность
- •3.2. Регулярная поверхность
- •3.3. Кривые на поверхности
- •3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •3.5. Измерение на поверхности длин, углов, площадей. Первая квадратичная форма поверхности
- •3.6. Площадь поверхности
- •3.7. Вторая квадратичная форма поверхности
- •3.8. Кривизна кривой, лежащей на поверхности
- •3.9. Главные направления и кривизны поверхности
- •3.10. Внутренняя геометрия поверхности
- •Литература:
3.7. Вторая квадратичная форма поверхности
Вторая квадратичная форма описывает поверхность во втором приближении. Она показывает, как отклоняется поверхность от касательной плоскости и полностью определяет кривизну поверхности. Можно было бы само понятие второй квадратичной формы ввести, исходя из задачи о вычислении расстояния от точки поверхности до касательной плоскости, проведенной через близкую точку.
Пусть f – регулярная поверхность, заданная уравнением , а
– линия на этой поверхности. Имеем . Введём вектор нормали , тогда единичный вектор нормали в точке M к поверхности f имеет вид . Найдём квадратичную форму . Так как , то скалярное произведение и, следовательно, .
Отсюда
(3.11)
Здесь учтено, что , , т.е. отсутствуют слагаемые с этими произведениями.
Введём обозначения
или в координатах: и аналогично,
, .
Замечание 3.3. Здесь – дифференциал второго порядка и – квадрат дифференциала.
Т
(3.12)
В формуле (3.12) правая часть равенства называется второй квадратичной формой поверхности.
Замечание 3.4. В частности, если поверхность задана явным уравнением , то , , .
3.8. Кривизна кривой, лежащей на поверхности
Пусть f – регулярная поверхность и – регулярная кривая на поверхности f, проходящая через точку M.
Предположим, что вдоль этой кривой за параметр принята длина дуги s, так что текущие координаты u и v выражаются как функции от s (естественная параметризация кривой): u=u(s), v=v(s) и, следовательно, кривая может быть представлена в виде .
Рассмотрим скалярное произведение , где и - единичный вектор нормали к поверхности. Тогда , где есть угол между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности.
Так как , где k – кривизна кривой, то имеем . С другой стороны, учитывая, что имеем
=
= .
Следовательно, учитывая, что , имеем
.
Правая часть этого равенства зависит только от направления кривой в точке M(u, v). Таким образом, в точке M(u, v) для всех кривых , проходящих через эту точку и имеющую в ней одну и ту же касательную плоскость.
Величину называют нормальной кривизной линии в точке M. Если – нормальное сечение поверхности, т.е. сечение поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке M, то тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 1.1. Нормальная кривизна любой линии поверхности, проходящей через точку M, с точностью до знака равна кривизне нормального сечения, имеющего с данной линии общую касательную (знак зависит от направления векторов и ).
3.9. Главные направления и кривизны поверхности
Исследуем теперь вопрос, как меняется нормальная кривизна в зависимости от направления её вектора скорости. Как и для всякой квадратичной формы, для второй квадратичной формы найдётся ортонормированный базис в касательной плоскости, в котором форма имеет диагональный вид .
Определение 3.5. Направления, задаваемые векторами этого базиса, называются главными направлениями, а числа – главными кривизнами.
Определение 3.6. Произведение называется гауссовой или полной кривизной поверхности в данной точке, полусумма – средней кривизной.
Знание главных кривизн и главных направлений позволяет найти нормальную кривизну в произвольном направлении по формуле
,
где – угол между данным направлением и направлением первого базисного вектора (формула Эйлера).
Из формулы Эйлера следует экстремальное свойство главных направлении: это те направления, где нормальная кривизна принимает наибольшее или наименьшее значение. Это свойство помогает находить главные направления: вектор с координатами du, dv задаёт главное направление, если выполнено условие:
.
Главные кривизны ищутся из условия , т.е. из уравнения .