- •Е.Г. Романова Дифференциальная геометрия
- •Содержание
- •1. Векторная функция скалярного аргумента
- •1.1. Определение вектор-функции. Предел. Непрерывность
- •1.2. Дифференцирование вектор-функции
- •1.3. Интеграл от векторной функции по скалярному аргументу
- •2. Сведения из теории кривых
- •2.1. Элементарная кривая
- •2.2. Касательная прямая к кривой
- •2.3. Соприкасающаяся плоскость кривой
- •2.4. Длина дуги как параметр
- •2.5. Кривизна кривой
- •2.6. Кручение кривой
- •2.7. Формулы Френе
- •3. Теория поверхностей в дифференциальной геометрии
- •3.1. Элементарная поверхность
- •3.2. Регулярная поверхность
- •3.3. Кривые на поверхности
- •3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •3.5. Измерение на поверхности длин, углов, площадей. Первая квадратичная форма поверхности
- •3.6. Площадь поверхности
- •3.7. Вторая квадратичная форма поверхности
- •3.8. Кривизна кривой, лежащей на поверхности
- •3.9. Главные направления и кривизны поверхности
- •3.10. Внутренняя геометрия поверхности
- •Литература:
3.2. Регулярная поверхность
Пусть Ф – элементарная поверхность, заданная уравнением .
Определение 3.3. Поверхность Ф называется регулярной (k раз дифференцируемой), если функции x, y, z имеют непрерывные, частные производные до порядка k включительно, причём в каждой точке ранг матрицы А = равен двум.
При k = 1 поверхность называется гладкой.
Замечание 3.2. Частные производные , и т.д. функций x, y, z будем обозначать . Таким образом, , .
Найдём частные производные радиус–вектора по u и v:
, .
Тогда матрица А примет вид A = и состоит из координат векторов и . Условие, что ранг A равен двум означает, что векторы и не коллинеарны. Далее будем рассматривать только такие векторы.
Как известно, из курса математического анализа, если функции x(u, v) и y(u, v) удовлетворяют условию , то вблизи данных значении u, v и соответствующих им значении x и y уравнения x=x(u, v) и y=y(u, v) могут быть разрешены относительно u, v. Таким образом, u=u(x, y), v=v(x, y) и получаем или – уравнение поверхности в явном виде.
3.3. Кривые на поверхности
Рассмотрим на поверхности F множество точек, криволинейные координаты которых определяются уравнениями: u=u(t), v=v(t), где t – независимая переменная. Тогда векторная функция каждой точки поверхности может быть записана в виде: . При изменении параметра, вектор описывает своим концом некоторую кривую в пространстве, тем самым кривую на поверхности F.
В параграфе 3.1 построена, так называемая сеть кривых на поверхности или координатная сеть.
3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Рисунок
7
, (3.2)
здесь – радиус-вектор точки касания, – радиус-вектор текущей точки касательной плоскости.
Пусть поверхность задана уравнением , т. е. в векторной форме . Напишем уравнение касательной плоскости для такой поверхности. Имеем ,
и, следовательно,
. (3.3)
Подставив в уравнение касательной плоскости (3.2) вместо вектор , а вместо нормального вектора его выражение (3.3), получим уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :
(3.4)
где значения производных и берутся в точке касания .
Если поверхность задана неявным уравнением , которое определяет как дифференцируемую функцию от x и y, то
.
Подставив эти выражения в уравнение (3.4), получаем уравнение плоскости, касательной к поверхности :
. (3.5)
Здесь значения , и берутся в точке касания .
Нормаль к поверхности. Пусть F (x, y, z) = 0 – неявное уравнение поверхности. Нормаль к поверхности (перпендикулярная прямая к касательной плоскости в точке касания) имеет вид:
.
Вычислим направляющие косинусы вектора , нормального к поверхности, заданной уравнением . Так как
и ,
то вектор имеет координаты
(3.6)
а его направляющие косинусы соответственно равны
, ,