4 Потеря кинетической энергии при ударе двух тел. Теорема карно

Из-за остаточных деформаций и нагревания тел при ударе проис­ходит частичная потеря начальной кинетической энергии соударяющихся тел. Определим потерю кинетической энергии при упругом ударе тел, имеющих коэффициент восстановления k.

Начальная кинетическая энергия тел

.

Кинетическая энергия тел в конце удара

.

Потеря кинетической энергии тел за время удара

(а)

Подставив в это выражение значение ударного импульса (15.13), получим потерю кинетической энергии при упругом ударе в виде

. (15.14)

Так как k < 1, то Т_о -Т > 0, или Т_о > Т, т. е. при ударе происхо­дит потеря кинетической энергии. Лишь при абсолютно упругом ударе (k= 1) Т_о -Т= 0, т. е. потери кинетической энергии не происходит.

В общем случае потерю кинетической энергии можно определить по зависимости

. (15.15)

В этом выражении величины ( ) и ( ) представляют собой скорости, потерянные телами при ударе. Обозначим кинетическую энергию тел, соответствующую их потерян­ным скоростям, Т*. Если числовая величина

. (15.16)

Тогда выражение (15.15), определяющее потерю кинетической энергии тел при ударе, примет вид

(15.17)

Таким образом, кинетическая энергия, потерянная телами при упругом ударе, равна произведению коэффициента (1-k)/(1+k) на кинетическую энергию тел Т*, соответствующую их потерянным ско­ростям.

При неупругом ударе, когда k=0 и и₁=и₂=и, формула (15.15) принимает вид

. (15.18)

Формула (15.18) выражает теорему Карно: кинетическая энергия, потерянная телами при неупругом ударе, равна кинетической энергии тел, соответствующей их потерянным скоростям.

Если при неупругом ударе одно из тел, например второе, до удара находилось в покое, то

.

Формула принимает вид

.

Определим Т, пользуясь этим значением и.

.

Потеря кинетической энергии при ударе

,

откуда

. (15.19)

Выражение (15.19) показывает, что если масса т₂ тела, находивше­гося до удара в покое, велика по сравнению с массой m₁ движущегося тела, то коэффициент . В этом случае почти вся кинетическая энергия движущегося тела теряется при ударе, расходуясь на деформацию тел.

Наоборот, если масса m₂ тела, находившегося до удара в покое, мала по сравнению с массой m₁, движущегося тела, то коэффициент мал и потеря кинетической энергии на деформацию тел незначительна. На этом основании наковальня должна иметь вес, во много раз превышающий вес молота, чтобы кинетическая энергия молота полностью использовалась на деформацию металла.

Наоборот, вес бабы копра, забивающего сваи в грунт, должен быть по возможности велик по сравнению с весом сваи, чтобы она при забивке не деформировалась.

5 Действие ударных сил на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, и на твердое тело, совершающее плоское движение

Предположим, что твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z (рис. 15.11). В момент, когда оно имело угловую скорость , на него подей­ствовали внешние ударные силы. Определим изменение угловой скорости тела под действием этих сил. Для этого воспользуемся уравнением:

.

Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела, т. е. . Подставим эти значения в уравнение:

Рис. 15.11

,

откуда

. (15.20)

Таким образом, изменение угловой скорости твердого тела, вращаю­щегося вокруг неподвижной оси, под действием внешних ударных сил равно сумме моментов импульсов этих сил относительно той же оси.

Выясним теперь влияние внешних ударных сил на плоское движение твердого тела. Рассмотрим это движение тела как совокупность двух движений: поступательного движения вместе с центром масс и враще­ния вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно той плоскости, в которой он движется.

В плоскости движения центра масс проведем оси х и у. Предполо­жим, что в момент начала действия ударных сил скорость центра масс была , а угловая скорость - . Обозначим скорость центра масс в момент конца действия ударных сил , а угловую скорость тела — ω. Изменение проекций скорости центра масс определяют два уравнения:

, (15.21)

где и - проекции внешнего ударного импульса на оси х и у.

Так как , то изменение угловой скорости тела определяет уравнение (15.20):

, (15.22)

где — момент инерции тела относительно подвижной оси ζ, проходя­щей через центр тяжести перпендикулярно плоскости ху; — момент внешнего ударного импульса относительно той же оси.

Таким образом, внешние ударные силы, действующие на твердое тело, совершающее плоское движение, вызывают конечное изменение скорости центра масс тела, определяемое уравнениями (15.21), и конечное изменение угловой скорости тела, определяемое уравнением (15.22).

Пример. Колесо 1, вращающееся с угловой скоростью , ударяет высту­пом о выступ первоначально неподвижного колеса 2 (рис. 15.12). Радиусы ко­лес и их моменты инерции относительно осей и соответственно равны , . Определять угловую скорость колеса 2 в конце удара, если коэффициент восстановления при ударе равен k.

Рис. 15.12

Решение. При ударе на колеса действуют численно равные ударные им­пульсы и ( ). Тогда, составив уравнение (15.20) для каждого из колес и учтя, что , получим:

.

Исключив из этих уравнений S, придем к равенству

. (а)

Так как скорости точек и в начале и в конце удара равны соответственно , то формула (15.8), определяющая коэффициент восстановления при прямом ударе, даст

. (б)

Исключив из уравнений (а) и (б) , найдем окончательно

.