3 Прямой центральный удар двух тел

При соударении двух тел удар называется прямым и централь­ным, когда общая нормаль к поверхностям тел в точке касания про­ходит через их центры масс и когда скорости центров масс в на­чале удара направлены по этой общей нормали. Таким, в частности, будет удар двух однородных шаров, центры которых до удара дви­жутся вдоль одной и той же прямой.

Пусть массы соударяющихся тел равны и , скорости их центров масс в начале удара и , а в конце удара и . Прове­дем через центры масс координатную ось , направленную всегда от к (рис. 15.7). Тогда, чтобы произошел удар, должно быть (иначе первое тело не догонит второе); кроме того, , так как ударившее тело не может опередить ударяемое.

Считая и k известными, найдем и . Для этого применим теорему об изменении количества движения к соударяющимся телам, рассматривая их как одну систему. Тогда ударные силы, действующие между телами, будут внутренними и . В результате уравнение (15.3) дает или

. (15.7)

Второе уравнение найдем из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения скорости каждого из тел, а от того, насколько скорость ударяющего тела превышает скорость ударяемого, т. е. от разности . Поэтому при ударе двух тел, если учесть, что всегда и получим

(15.8)

или

. (15.9)

Рис. 15.7

Система уравнений (15.7), (15.8) и по­зволяет решить поставленную задачу. Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, найдем, составив уравнение (15.3) для какого-нибудь одного из тел, на­пример для первого. Тогда

. (15.10)

1. Абсолютно неупругий удар (k=0). Для рассмотрения прямого центрального неупругого удара двух тел введем обозначения:

№ тела	Масса тела	Скорости
		В начале удара	В конце удара
1			и
2			и

Рис. 15.8

Тогда проекции на ось п (рис. 15.8) общей скорости соударяющихся тел в конце удара равны (ось п проведена вдоль линии центров):

.

Импульс мгновенной силы определяется формулой

.

Оба тела после удара движутся с одной и той же скоростью.

2. Частично упругий удар (k<1). Разделим процесс на два этапа. В течение первого этапа совершается деформация соударяющихся тел. В течение второго этапа – частичное восстановление недеформированного состояния. В момент окончания первого этапа и начала второго центры тяжести тел обладают одинаковыми скоростями, которые они имели бы в конце соответствующего неупругого удара. В конце второго этапа центры тяжести тел имеют уже различные скорости и . Коэффициентом восстановления недеформированного состояния k называется отношение импульсов мгновенной силы второго этапа к импульсу мгновенной силы первого этапа:

.

Коэффициент восстановления, являющийся безразмерной величиной, изменяется в пределах от 0 до 1 ( ):

при неупругом ударе ;

при частично упругом ударе ;

при упругом ударе .

Введем обозначения:

№ тела	Масса тела	Скорости
		В начале удара	В конце I этапа	В конце II этапа
1
2
		I этап II этап

Тогда проекции на ось п скоростей соударяющихся тел в конце удара равны:

,

,

где

.

Действующий на тела ударный импульс при этом равен

.

2. Абсолютно упругий удар (k=1). В случае упругого удара:

Рис. 15.9

(15.12)

Действующий на тела ударный импульс при этом равен

. (15.13)

Как видим, при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом.

В частном случае, когда , получаем из уравнений (15.12) ; таким образом, два тела одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.

Пример. Два шара массой и , подвешены так, как показано на рис. 15.10. Первый шар отклоняют на угол α и отпускают без начальной скорости. После удара второй шар отклоняется на угол β. Найти коэффициент восстановления для шаров при ударе.

Рис. 15.10

Решение. По данным задачи можно опре­делить скорость центра первого шара в начале удара и скорость центра второго шара в конце удара. Из теоремы об изменении кинетической энер­гии на перемещении находим для первого шара

,

где l — расстояние центра шара от точки подвеса. Отсюда . Аналогично находим, что .

Так как в нашем случае , уравнения (15.7) и (15.8) дают:

.

Исключая из этих уравнений и и замечая, что , a получим

.

Отсюда окончательно находим:

.