Циклические координаты. Циклические интегралы. Обобщенные координаты, которые не входят явно в выражение кинетического потенциала l, называются циклическими координатами.

Предположим, что среди s обобщенных координат системы ко­ординаты являются циклическими. Тогда по определению циклических координат производные от кинетического потенциала по этим координатам равны нулю:

. (14.11)

В этом случае k уравнений (14.10) принимают вид

, (14.12)

откуда

. (14.13)

Равенства (14.13) называются циклическими интегралами. Рассмотрим некоторые примеры циклических координат. Положение точки в пространстве определяется тремя координа­тами. Примем декартовы координаты свободной материальной точки х, у, z за обобщенные координаты. Тогда кинетическая и потен­циальная энергии точки, движущейся в поле силы тяжести, опреде­лятся следующими выражениями:

.

Рис. 14.1

Кинетический потенциал точки

.

Координаты х и у не входят в выражение кинетического потенциала L, т. е. являются циклическими коор­динатами. Циклические интегралы имеют вид

или ;

или .

Эти выражения показывают, что проекции скорости точки на горизонтальные оси координат постоянны, т. е. движение проекции точки на горизонтальную плоскость происхо­дит равномерно и прямолинейно, или при и проекция точки на горизонтальную плоскость неподвижна, т. е. точка движется по вер­тикали. Под действием силы тяжести изменяется только вертикальная составляющая скорости точки. В качестве второго примера рассмотрим движение материальной точки массой т под действием центральной силы. Центральная сила направлена к некоторому центру, а ее модуль является функцией расстояния от точки до центра.

Воспользуемся полярными координатами, принимая их за обобщенные координаты (рис. 14.1). Определим кинетическую энергию точки, выражая модуль скорости точки v через ее проекции на оси по­лярных координат v_r и v_φ:

.

Ранее показано, что потенциальная энергия материальной точки, находящейся в поле ньютоновой силы притяжения, является функцией расстояния от точки до центра притяжения. Это положение спра­ведливо и при другом законе изменения центральной силы:

П=f(r).

Кинетический потенциал точки

.

Так как угловая координата φ не входит явно в выражение кинетического потенциала L, то она является циклической. Соот­ветствующий ей циклический интеграл имеет вид

или .

Это равенство выражает закон сохранения момента количества дви­жения материальной точки относительно центра.

3. Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского Общие понятия

Вариационными принципами классической механики называют общие закономерности механического движения, позволяющие из совокуп­ности кинематически возможных движений механической системы, т. е. движений, допускаемых наложенными на систему связями, выделить действительное движение, которое она будет совершать в заданном силовом поле.

Вариационные принципы разделяются на дифференциальные и интегральные. Дифференциальные вариационные принципы дают крите­рий истинного движения, отнесенный к некоторому моменту времени, а интегральные — к конечному интервалу времени.

Важнейшим и наиболее общим дифференциальным вариационным принципом классической механики является принцип возможных пере­мещений.

Важнейшими интегральными принципами классической механики являются принцип Гамильтона — Остроградского и принцип стационар­ного действия Мопертюи — Лагранжа.

Положение голономной механической системы с s степенями сво­боды относительно системы отсчета определяется обобщенными коор­динатами ( ), которые при движении механической системы изменяются, являясь функциями времени t.

Совокупность обобщенных координат механической системы ( ) для каждого момента времени можно рассматривать как координаты точки в пространстве s измерений. Тогда каждой конфи­гурации механической системы, т. е. ее положению в пространстве, будет соответствовать определенная точка в s-мерном пространстве. Условимся называть s-мерное пространство пространством конфигу­раций.

С течением времени положение системы в пространстве изменяется и точка, изображающая эту систему, описывает в пространстве кон­фигураций некоторую кривую. Условимся называть эту кривую траек­торией движения системы. Движение изображающей точки вдоль этой траектории отображает действительное движение системы в пространстве.

Очевидно, что каждой точке такой траектории в пространстве конфигураций соответствует определенное положение механической сис­темы в реальном евклидовом пространстве.

Отбор действительного движения механической системы из сово­купности ее возможных движений можно осуществить с помощью анализа ее движения в пространстве конфигураций на основе ин­тегральных вариационных принципов.

Рассмотрим вариационный принцип Гамильтона – Остроградского.