2 Решение задачи при действии постоянной силы

Примером задачи при действии постоянной силы, является падение тела без учета сопротивления воздуха.

Рассмотрим движение тела М, падающего на поверхность земли с высоты Н, полагая вес тела постоянным (рис. 2.2). Пренебрегая размерами тела, будем считать его материальной точкой. Сначала рассмотрим падение тела в пустоте, т. е. без учета сопротивления воздуха.

Направим ось у по траектории прямолинейного движения тела в сторону его движения и примем за начало координат начальное положение тела. Если начальная скорость тела равна нулю, то начальные условия рассматриваемого движения будут иметь вид

.

Дифференциальное уравнение этого прямолинейного движения тела под действием силы тяжести примет вид

, откуда ,

Рис. 2.2

т.е. ускорение движения постоянно. Интегрируем это уравнение дважды по t:

.

Постоянные C₁ и С₂ определим по начальным условиям. При подстановке в первое уравнение t=0, =0

.

При подстановке во второе уравнение t=0,

.

Уравнения характеризующие свободное падение тела при значениях С₁ = 0 и С₂ = 0, примут вид

(2.3)

. (2.4)

Законы свободного падения тела, выраженные этими уравнениями, были впервые экспериментально установлены Галилеем:

1. Скорость свободно падающего тела пропорциональна времени падения (2.3).

2. Пути, проходимые свободно падающим телом, пропорциональны квадрату времени падения (2.4).

Пользуясь уравнением (2.4), можно определить время свободного падения тела с высоты Н:

. (2.5)

3. Решение задачи при действии силы, зависящей от времени

Груз весом начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы , значение которой растет пропорционально времени по закону (рис. 2.3). Найти закон движения груза.

Рис. 2.3

Выберем начало отсчета О в начальном положении груза и направим ось Ох в сторону движения. Тогда начальные условия будут

.

Изображаем в произвольном положении груз и действующие на него силы . Проекции этих сил на ось Ох

и дифференциальное уравнение движения груза примет вид

.

Умножив обе части этого равенства на dt, мы сразу разделим переменные и, интегрируя, получим

.

Подставляя сюда начальные данные, найдем, что . Тогда, заменяя в полученном равенстве

,

представим его в виде

.

Умножая обе части этого равенства на dt, опять разделим переменные и, интегрируя, найдем

.

Подстановка начальных данных дает , и окончательно получаем закон движения груза в виде

.

Таким образом, проходимый грузом путь будет расти пропорционально кубу времени.

4 Решение задачи при действии силы, зависящей от скорости точки

Лодку, масса которой т= 40 кг, толкают, сообщая ей начальную скорость . Считая силу сопротивления воды при малых скоростях; меняющейся по закону , где коэффициент определить, через сколько времени скорость лодки уменьшится вдвое и какой она за это время пройдет путь. Найти также, какой путь пройдет лодка до полной остановки (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Решение. Совместим начало отсчета О с начальным положением лодки и направим ось Ох в сторону движения (рис. 2.4). Тогда начальные условия будут: при . Изображаем в произвольном положении лодку и действующие на нее силы .

Примечание. Никакие другие силы на лодку не действуют. Сила, сообщавшая лодке толчок, действовала на лодку до момента . Результат этого действия учитывается заданием начальной скорости , которую сила за время толчка сообщила лодке. Чтобы правильно определить, какие силы длительно действуют на тело при его движении, надо помнить, что сила есть результат взаимодействия данного тела с другими телами. В данном случае сила тяжести является результатом действия на лодку Земли, а силы и - результат действия на лодку воды. Никакие другие материальные тела с лодкой при ее движении не взаимодействуют, значит, никаких других действующих сил нет. Обращаем внимание на этот вопрос, так как он часто является источником ошибок при решении задач.

Вычисляя проекции действующих сил, находим, что

.

Для определения времени движения составляем дифференциальное уравнение. Замечая, что в данном случае , получим

.

Проинтегрируем это уравнение, беря от обеих его частей после разделения переменных соответствующие определенные интегралы. При этом нижним преде­лом каждого из интегралов будет значение переменного интегрирования в началь­ный момент, а верхним — значение того же переменного в произвольный момент времени.

По условиям данной задачи при , следовательно

или .

Отсюда окончательно

. (a)

Искомое время определим, полагая . Это время не за­висит в данном случае от величины . Так как , то

.

Для определения пройденного пути целесообразно вновь составить дифферен­циальное уравнение движения. Заменим

.

Тогда получим

.

Отсюда, сокращая на , разделяя переменные и учитывая, что при , получим

или .

Следовательно,

. (б)

Полагая , найдем искомый путь:

.

Чтобы найти путь, пройденный лодкой до остановки, следует в равенстве (б) положить . Тогда получим, что

.

Определяя время движения до остановки, мы из равенства, (а) найдем, что при время . Это означает, что при принятом законе сопротивления ( ) лодка будет к своему конечному положению (определяемому координатой х₂) приближаться асимптотически. Фактически же время движения лодки до оста­новки будет конечным, так как с уменьшением скорости закон сопротивления ста­новится другим и соответственно изменяется вид зависимости v от t .