Поэтому состояние покоя метронома устойчиво, если

.

При φ₂= 180° и G₁l₁ >G₂l₂

,

т. е. это состояние покоя метронома неустойчиво.

Лекция 14

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ

КООРДИНАТАХ

1. Уравнения Лагранжа второго рода

Предположим, что механическая система из n материальных точек имеет s степеней свободы. В случае голономных нестационарных свя­зей радиус-вектор любой точки M_i этой системы является функцией обобщенных координат q₁, q₂, ..., q_s и времени t

. (14.1)

Обобщенные координаты системы q₁, q₂, ..., q_s являются функциями времени. Поэтому радиус-вектор является сложной функцией времени и вектор скорости точки определяется по правилу дифференциро­вания сложной функции:

(a)

или

. (14.2)

В случае стационарных связей

. (14.3)

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями. Из выражения (а) следует, что частная производная от , по какой- либо обобщенной скорости равна коэффициенту при в правой части этого выражения, т. е. равна частной производной от по коорди­нате :

. (б)

Кинетическая энергия механической системы, как известно, опреде­ляется по формуле

. (14.4)

Из выражения (14.2) следует, что вектор скорости точки в случае голономных нестационарных связей является функцией обобщенных координат, содержащихся в выражениях , обобщенных скоростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных:

. (14.5)

Найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенной координате и обобщенной скорости , дифференцируя выражение (14.4) как сложную функцию:

Преобразуем последнее выражение на основании равенства (б):

Продифференцируем это выражение по времени:

. (в)

Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства (в), учитывая, что для несвободной материальной точки .

1. С помощью равенства, определяющего обобщенную силу, находим:

.

2. Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение .

Частная производная является функцией тех же переменных, oт которых, согласно (14.1), зависит радиус-вектор точки . Дифферен­цируем как сложную функцию времени:

. (г)

Найдем частную производную , дифференцируя по выраже­ние (а):

. (д)

Правые части выражений (г) и (д) отличаются только последова­тельностью дифференцирования, которая при непрерывных функциях не имеет значения, следовательно,

.

Пользуясь этой зависимостью, преобразуем вторую сумму в правой части равенства (в):

.

Подставляем найденные значения обеих сумм в равенство (в) и рассматриваем механическую систему со стационарными идеальными связями, для которых :

или

. (14.6)

Систему s дифференциальных уравнений (14.6) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой диф­ференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы . Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегри­рования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координатах:

. (14.7)

Уравнения Лагранжа второго рода сыграли решающую роль в развитии динамики системы и широко используются для решение многих задач механики.