2 Обобщенные силы и примеры их вычисления

Рассмотрим механическую систему из n материальных точек М₁, М₂,…,М_n, находящуюся под действием системы сил . Предположим, что система имеет s степеней свободы, т.е. ее положение определяется s обобщенными координатами q₁, q₂,…, q_s. При наличии нестационарных связей радиус-вектор каждой точки системы относительно начала неподвижной системы декартовых координат (рис. 13.2) и ее декартовы координаты x_i,, y_i, z_i являются функциями обобщенных координат и времени:

.

Рис. 13. 2 Рис. 13.3

При стационарных связях эти равенства не будут содержать явно времени t. Сообщим элементарное приращение только одной координате q_j, оставляя неизменными все остальные обобщенные координаты. Тогда радиус-вектор каждой точки М_i получит приращение , обусловленное приращением δq_j этой координаты:

. (13.7)

Вычислим работу всех сил, действующих на механическую систему на перемещениях точек , вызванных приращением координаты δq_j, для чего воспользуемся выражением элементарной работы силы в виде скалярного произведения:

.

Разделив на элементарное приращение обобщенней координаты , получим величину , называемую обобщенной силой:

. (13.8)

Таким образом, обобщенной силой Q_j, соответствующей обобщен­ной координате q_j, называют скалярную величину, определяемую отно­шением элементарной работы действующих сил на перемещение механи­ческой системы, вызванном элементарным приращением координаты q_j к величине этого приращения.

На основании (13.8) имеем

. (13.9)

Если элементарные перемещения точек механической системы, вызван­ные элементарным приращением обобщенной координаты q_j, обозна­чить (рис. 13.3), то формула (13.9), учитывая, что , примет вид

. (13.10)

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствую­щей ей обобщенной координаты q_j . Так, например, если за обобщенную координату q_j принять угол φ, выражаемый в радианах, то размерность обобщенной силы Q_j совпадает с размерностью момента силы (работы). Cуммарная работа сил, действующих на механическую систему, на элементарных перемещениях системы (13.7)

,

где

. (13.11)

Следовательно,

.

Меняя порядок суммирования и учитывая формулу (13.8), получаем

.

Таким образом, имеем

, (13.12)

. (13.13)

В формуле (13.13) множители Q_j при элементарных приращениях δq_j являются обобщенными силами, соответствующими обобщенным координатам Q_j .

Соответственно с приведенной ранее классификацией сил, действую­щих на механическую систему, обобщенные силы разделяются на обобщен­ные внешние и внутренние силы или на обобщенные задаваемые (актив­ные) силы и обобщенные реакции связей.

В случае стационарных связей обобщенные реакции идеальных связей равны нулю.

Действительно, для нахождения обобщенной реакция, соответствую­щей координате q_j следует вычислить сумму робот реакций связей на перемещения системы, соответствующем приращению δq_j этой коор­динаты, а затем определить обобщенную реакцию связи по формуле

.

Как указывалось выше, в случае стационарных связей описанное перемещение системы является одним из возможных пере­мещений этой системы, а потому сумма работ реакций идеальных связей на этом перемещении равна нулю:

.

Отсюда следует, что

. (13.14)

Таким образом, при определении обобщенных сил реакции идеаль­ных связей выпадают. Покажем, что обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате q_j можно также вычислить как отношение мощности всех сил, приложенных к механической системе при возможной обобщен­ной скорости , к величине этой обобщенной скорости. Мощность указанной системы сил определится по формуле

, (13.15)

где - скорость точки M_i системы, соответствующая возможной обобщенной скорости . Подставив значение в (13.15), получим

.

Так как на основании (13.8) ,

имеем .

Поэтому

. (13.16)

Формула (13.16) позволяет определять обобщенную силу, соответ­ствующую обобщенной координате q_j, как отношение мощности системы сил, соответствующей возможной обобщенной скорости к числово­му значению этой обобщенной скорости при условии, что , а все остальные возможные обобщенные скорости равны нулю.