Возможные (виртуальные) перемещения механической системы. Идеальные связи

Возможными (или виртуальными) перемещениями несвободной ме­ханической системы называются воображаемые бесконечно малые пере­мещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями.

Возможные перемещения точек механической системы рассматри­вают как величины первого порядка малости, пренебрегая при этом величинами высших порядков малости. Поэтому криволинейные пере­мещения точек заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к траекториям точек, и обозначают . Так, например, возможным перемещением рычага АВ (рис. 12.6) является его поворот на бесконечно малый угол вокруг точки О. При этом повороте точки А и В должны переместиться по дугам окружностей АА₁ и ВВ₁. С точностью до величин первого порядка малости эти перемещения заменяют возможными перемещениями и в виде прямолинейных отрезков, отложенных по касательным к траекториям точек, а по величине равных

.

Рис. 12.6 Рис. 12.7

Рис. 12.8 Рис. 12.9

Возможным перемещением кривошипного механизма, изображен­ного на рис. 12.7, является перемещение, соответствующее повороту кривошипа ОА на бесконечно малый угол вокруг оси вала. Возможное перемещение пальца кривошипа А представляет собой отрезок касательной АА' к дуге окружности с центром в точке О, равный по величине . Возможным перемещением пол­зуна В является бесконечно малый отрезок BB₁ прямолинейной тра­ектории точки В. Действительные перемещения несвободной механической системы, движущейся под действием приложенных к ней сил, входят в число ее возможных перемещений, являясь их частным случаем. Однако это справедливо лишь для стационарных связей. В случае нестационарных связей действительные перемещения системы не относятся к числу ее возможных перемещений. Все силы, действующие на несвободную материальную точку или несвободную механическую систему, делят на задаваемые силы и реак­ции связей.

Задаваемые силы выражают действие на механическую систему тел, вызывающих или стремящихся вызвать определенное ее движение.

Реакции связей выражают действие связей, ограничивающих движе­ние механической системы или препятствующих ему. Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек M₁, М₂, ..., М_n, подчиненную связям; реакции связей обозна­чим (рис. 12.8). Сообщим системе какое-либо возмож­ное перемещение; возможные перемещения точек системы обозначим . Вычислим сумму работ реакции , на этих перемещениях. Если сумма работ реакций связей на любом возможном переме­щении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Согласно этому определению, для идеальных связей

. (12.3)

Предположим, что тело может скользить между параллельными гладкими поверхностями (рис. 12.9, a). Сообщим телу возможное пере­мещение и вычислим работу реакций связи на этом перемещении.

Считая, что давление тела передается на нижнюю поверхность, приложим к телу нормальную реакцию этой поверхности . Возмож­ное перемещение точки приложения этой силы δs лежит в плоскости, касательной к опорной поверх­ности.

Рис. 12.10

Работа силы на перемещении δs равна

.

Следовательно, рассматриваемая двусторонняя связь является идеальной, так как условие (12.3) выполнено. Предположим теперь, что тело может скользить между параллельными шероховатыми поверхностями (рис. 12.9, б). Тогда реакция плоскости состоит из нормальной реакции и силы трения . Найдем сумму работ этих составляющих реакции на возможном пере­мещении :

.

Следовательно, рассматриваемая двусторонняя связь не является идеальной, так как условие (12.3) не выполнено. Отметим, что хотя связь, осуществленная с трением, не является идеальной, тем не менее такую связь можно условно рассматривать как идеальную. Для этого следует перевести силы трения из группы реакций связей в группу задаваемых сил. Тогда сумма работ реакций (без сил трения) на возможных перемещениях будет равна нулю, т.е. условие (12.3) будет выполнено. В некоторых случаях и шероховатая поверхность является идеаль­ной связью. Так, например, если тело катится по неподвижной шеро­ховатой поверхности без скольжения, то линия соприкосновения тел является мгновенной осью вращения. Скорости точек соприкосновения тел равны нулю, а потому возможные перемещения этих точек равны нулю. В этом случае и работа реакции , являющейся геомет­рической суммой нормальной составляющей и силы сцепления на этом перемещении, равна нулю.

Таким образом, шероховатая поверхность, по которой катится без скольжения тело (рис. 12.10), также удовлетворяет условию (12.3). Усло­вие (12.3), при котором связь является идеальной, относится не только к двусторонним, но и к односторонним связям. Однако в последнем случае должны рассматриваться лишь неосвобождающие возможные перемещения, которые оставались бы возможными и в случае, если бы данная связь была двусторонней.