4. Работа сил, приложенных к твердому телу.

Работа внутренних сил. Твердое тело представляет собой механи­ческую систему, расстояния между точками которой остаются неиз­менными.

Рассмотрим две произвольные точки твердого тела М₁ и M₂ (рис. 9.13). Обозначим силу, действующую на точку М₁ со стороны точки М₂, а - силу, действующую на точку М₂ со стороны точки М₁. Эти внутренние силы на основании закона равенства действия и противодействия равны по модулю и противоположны по направ­лению, т. е.

=– . (9.24)

Предположим, что точки М₁ и М₂ имеют в данный момент скорости и и за промежуток времени их элементарные переме­щения, направленные вдоль векторов скоростей, равны и . Так как на основании первого следствия теоремы о скоростях точек плоской фигуры проекции

Рис. 9.13 Рис. 9.14

векторов скоростей и на направ­ление отрезка M₁,M₂ равны, то, очевидно, и проекции элементарных перемещений этих точек на направление отрезка также равны, т. е.

.

Поэтому, вычисляя сумму элементарных работ двух внутренних сил и на рассматриваемом перемещении и учитывая (9.24), получаем

.

Так как каждой внутренней силе соответствует другая, равная ей по модулю и противоположная по направлению, то сумма элементар­ных работ всех внутренних сил тоже равна нулю.

.

Конечное перемещение является совокупностью элементарных пере­мещений, а потому

. (9.25)

т.е. сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его пере­мещении равна нулю.

Поступательное движение твердого тела. Выше установлено, что сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

Поэтому следует вычислить лишь работу внешних сил, приложен­ных к телу. Положим, что к твердому телу, движущемуся поступа­тельно, приложены внешние силы (рис. 9.14). При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек тождественны и параллельны. Следовательно, векторы элементар­ных перемещений всех точек геометрически равны между собой, т.е.

.

Элементарная работа силы

.

Элементарная работа всех сил, приложенных к телу, равна элемен­тарной работе внешних сил:

но .

где — главный вектор всех внешних сил.

Следовательно,

. (9.26)

Выражение (9.26) показывает, что элементарная работа cuл, прило­женных к твердому телу, движущемуся поступательно, равна элементарной работе главного вектора внеш­них сил, приложенного в любой точке тела.

Работа на конечном перемещении

. (9.27)

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Предположим, что к твер­дому телу, вращающемуся вокруг не­подвижной оси z, приложены внешние силы (рис. 9.15). Вычис­лим сначала элементарную работу от­дельной силы , которая приложена в точке М_i, описывающей окружность ра­диусом M_iK_i = R_i. Разложим эту силу на три составляющие, направленные по естественным осям траектории точки М_i:

.

Рис. 9.15

Определим момент силы относи­тельно оси z как сумму моментов ее со­ставляющих относительно этой оси. Составляющая по главной нормали пересекает ось z, составляющая по бинормали параллельна оси z; следовательно, моменты этих сил равны нулю. Таким образом, момент силы относительно оси z равен моменту силы , которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси z :

.

При элементарном перемещении тела его угол поворота φ полу­чает приращение dφ, а дуговая координата точки М_i — приращение ds_i=R_i dφ. Вычислим работу силы на этом перемещении как сумму работ трех ее составляющих. Работа сил и -перпен­дикулярных вектору скорости точки M_i, равна нулю. Поэтому элемен­тарная работа силы

.

Элементарная работа всех сил, приложенных к твердому телу,

.

где - главный момент внешних сил относительно оси вра­щения z.

Таким образом,

, (9.28)

т. е. элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращаю­щемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота.

Если при вращении тела значение его угла поворота изменяется от φ₁ до φ₂ то сумма работ сил на этом конечном перемещении

. (9.29)

В случае если главный момент внешних сил относительно оси вращения тела постоянен, ,

, (9.30)

т. е. в этом случае сумма работ сил на конечном перемещении равна произведению главного момента внешних сил относительно оси враще­ния на конечное изменение угла поворота тела.

В формуле (9.30) угол поворота выражен в радианах, т. е. представ­ляет собой отвлеченную величину, а размерность работы совпадает с размерностью момента. Пользуясь формулой (9.29), можно определить мощность сил, при­ложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω:

. (9.31)

Общей случай движения свободного твердого тела. Предположим, что к сво­бодному твердому телу, движущемуся как угодно в пространстве, приложены внешние силы (рис. 9.16). Элементарное перемещение свободного твердого тела можно раз­ложить на поступательное перемеще­ние с некоторым полюсом О, опреде­ляемое приращением дуговой коорди­наты ds_o, и поворот на элементарный угол вокруг мгновенной оси Ώ, проходящей через полюс. Сумма элементарных работ всех сил на поступательном перемещении определится по формуле (9.26) как элементарная работа главного вектора внешних сил , приложен­ного в полюсе О.

Сумма элементарных работ всех сил на перемещении при пово­роте вокруг мгновенной оси О определится по формуле (9.28) как произведение главного момента внешних сия относительно мгновенной оси на элементарный угол . Тогда элементарная работа всех сил, приложенных к свободному твердому телу, движущемуся как угодно,

. (9.32)

Рис. 9.16

Таким образом, элементарная работа внешних сил, приложенных к свободному твердому телу в общем случае его движения, равна сумме элементарных работ их главного вектора на перемещении точки его приложения — полюса и главного момента этих сил относительно мгновенной оси, проходящей через полюс, на перемещении при повороте вокруг этой оси.

Пример. Цилиндр, масса которого т = 1 кг, радиус r = 0,173 м, катится без скольжения (9.17). Опреде­лить суммарную работу силы тяжести и силы сопротивления качению, если ось цилиндра переместилась на расстояние s = 1 м и коэф­фициент трения качения δ = 0,01 м.

Рис. 9.17

Решение.

.

Лекция 10

ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1. Теорема об изменении кинетической энергии

материальной точки

Рассмотрим материальную точку М массой т, движущуюся под действием сил . Установим зависимость между работой, совершаемой приложенными к точке силами на перемещение М₁М₂, и изменением кинетической энергии точки на этом перемещении (рис. 10.1). Выберем начало и направление отсчета дуговой координаты s=ОМ. Укажем в точке М орт касательной τ, направленный всегда в сторону увеличения дуговой координаты. Проекция скорости точки на касатель­ную определяется так:

.

Рис. 10.1

Проекция ускорения точки на касательную

или .