4. Элементарная теория гироскопа

Гироскопом обычно называется твердое тело, вращающееся вокруг оси материальной симметрии, одна из точек которой неподвижна.

Предположим, что гироскоп имеет неподвижную точку О и ось сим­метрии О (рис. 8.7, а). Если гироскоп вращается вокруг оси О с угловой скоростью и положение оси О не изменяется, то вектор угловой скорости гироскопа направлен по оси О . Его проекции на подвижные оси координат:

Как установлено ранее, ось симметрии О является главной осью

Рис. 8.7

инерции для всех своих точек, в том числе и для точки О. Поэтому кинетические моменты гироскопа относительно осей равны: , где - момент инерции гироскопа относительно оси О .

Кинетический момент гироскопа относительно неподвижной точки О

.

Рассмотрим теперь сложное движение гироскопа, состоящее из вращения вокруг его оси симметрии О с угловой скоростью и вращения вместе с этой осью вокруг неподвижной оси Oz с угло­вой скоростью (рис. 8.7, б).

В этом случае вектор абсолютной угловой скорости гироскопа определяется диагональю параллелограмма, построенного на угло­вых скоростях составляющих вращений:

.

Кинетический момент гироскопа относительно точки О можно определить по его проекциям на подвижные оси координат .

В этом случае направление не совпадает с направлением оси гироскопа . Если угловая скорость вращения гироскопа вокруг его оси симметрии во много раз больше угловой скорости вра­щения самой этой оси , то направления векторов , , а сле­довательно, и весьма близки между собой.

В дальнейшем, полагая, что угловая скорость вращения ги­роскопа вокруг его оси симметрии во много раз превышает угловую скорость вращения самой оси (рис. 8.7, в), условимся считать кинетический момент гироскопа относительно неподвижной точки О направленным вдоль оси симметрии гироскопа и равным

. (8.12)

На этом условии основана приближенная теория гироскопических явлений.

Гироскопом с тремя степенями свободы называется гироскоп, дви­жение которого ограничено только наличием одной неподвижной точки. Положение твердого тела, одна из точек которого неподвижна, можно определить путем задания трех эйлеровых углов: и . Из этого следует, что такое тело имеет три степени свободы. Гироскоп с тремя степенями свободы, быстро вращающийся вокруг своей оси, обладает особым физическим свойством - оказывать со­противление силам, стремящимся сместить его ось.

Гироскоп с двумя степенями свободы не обладает способностью противодействовать изменению направления его оси вра­щения.

Гироскопы получили широкое применение в различных областях техники: на транспорте, в морском флоте, в авиации, в военном деле и т. д. Так, например, гироскопический эффект используется при езде на велосипеде. Гироскопические устройства обеспечивают также устойчивость движения двухколесного автомобиля и вагона одно­рельсовой железной дороги.

С помощью гироскопических устройств по заданному курсу направляются движения судов в открытом море и совершаются слепые полеты самолетов. Гироскопические приборы используются для управления полетом баллистической ракеты и обеспечивают движение в заданном направлении торпеды.

Для того чтобы обеспечить пуле и снаряду устойчивость в полете, ствол винтовки и орудия снабжают винтовой нарезкой. Тогда при выходе из ствола пуля и снаряд получают быстрое вращение вокруг продольной оси и приобретают свойства быстровращающегося гироскопа, обеспечивающие их устойчивость в полете

Лекция 9

РАБОТА. ТЕОРЕМЫ О РАБОТЕ СИЛ

1. Работа постоянной силы. Элементарная

работа силы

  Две меры механического движения. В динамике рассматриваются два случая преобразования механи­ческого движения материальной точки или системы точек:

1) механическое движение переносится с одной механической сис­темы на другую в качестве механического движения;

2) механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоты, электриче­ства и т. д.).

Каждый из этих случаев преобразования механического движения имеет свои измерители как механического движения, так и действия силы. Когда рассматривается преобразование механического движения без перехода его в другую форму движения, мерой механического движения является вектор количества движения материальной точки или механической системы . Мерой действия силы в этом случае является вектор импульса силы . Когда механическое движение превращается в дру­гую форму движения материи, в качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия материальной точки или меха­нической системы. Из элементарного курса физики известно, что кинетическая энергия материальной точки массой т, движущейся со скоростью v, равна половине произведения массы этой точки на квадрат скорости ее движения:

.

Итак, существуют две различные меры механического движения: и - и две различные меры действия силы: импульс силы и работа силы А. Следует отметить, что измерителями механи­ческого движения и действия силы в первом случае являются век­торные величины и , а во втором случае — скалярные величины и А. Так как изменение величины связано с работой приложен­ных к телу сил, то работа является количественной мерой превра­щения механического движения в какую-либо другую форму движения.

Работа постоянной силы. Рассмотрим сначала вычисление работы постоянной по модулю и на­правлению силы на прямолинейном перемещении ее точки приложения. Предположим, что точка приложения постоянной силы перемещается по прямой из М в М₁ (рис. 9.1), а вектор силы составляет с век­тором перемещения угол а. Работа силы в этом случае равна произведению модуля силы на длину пути, пройденною точкой приложения силы, и на косинус угла между направлениями вектора силы и вектора перемещения точки ее приложения:

. (9.1)

Если угол α острый, то работа силы положительна, а если тупой, то отрицательна, т.е. работа положительна, когда сила ускоряет движение, и отрицательна, когда она замедляет движение.

Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух векторов

.

Следовательно, работа силы на перемещении

. (9.2)

т. е. Работа постоянной по модулю и направлению силы на прямоли­нейном перемещении определяется скалярным произведением вектора силы на вектор перемещения точки ее приложения.

При α = 0 ; = 90^о ; α =180^о .

Рис. 9.1

Элементарная работа силы. Предположим, что точка приложения переменной по модулю и на­правлению силы перемещается по криволинейной траектории из М₁ в M₂ (рис. 8.2). Чтобы вычислить работу силы на этом перемещении, нужно разбить это перемещение на элементарные участки, вычислить работу силы на каждом элементарном участке как работу постоянной силы и определить предел суммы элементарных работ при стремлении числа участков к бесконечности и длины каждого из них к нулю. Элементарная работа силы на участке ММ' определяется по формуле (9.1):

. (9.3)

Здесь Р — модуль силы, соответствующей точке М; dσ — длина пути ММ', т. е. пройденный точкой элементарный путь; — угол, сос­тавленный направлением силы и скоростью в точке М. Элементарную работу обозначают δА, а не dA, так как в общем случае она не является дифференциалом функции. Знак работы в выражении (1) определяется только знаком косинуса угла . Будем определять положение точки М на траектории дуговой координатой s = ОМ (рис. 3 и 4), а орт , направленный по касательной к траектории, направим в сторону возрастания дуговой ко­ординаты.

Рис. 9.2 Рис. 9.3 Рис. 9.4

Тогда при движении точки М в сторону возрастания (см. рис. 9.3) имеем:

1) ds > 0, dσ= | ds | = ds;

2) , так как направления и совпадают. Эле­ментарная работа силы

.

При движении точки М в сторону уменьшения s (рис. 9.5) имеем:

1) ds<0; dσ = │ds│ = -ds;

2) , так как направления и противоположны. Тогда элементарная работа силы .

Таким образом, при движении точки в любом направлении по траектории элементарная работа силы

. (9.4)

где Р - модуль силы, соответствующей точке М; ds - приращение дуговой координаты точки (алгебраическая величина); - угол между направлением силы и орта , направленного всегда по касательной в сторону увеличения дуговой координаты. В выражении (9.4) знак работы определяется как знаком ds, так и знаком синуса угла . Обычно работа силы вычисляется отдельно для участков с движени­ем в одном направлении. Тогда это направление принимается за положительное и в формуле (9.2) ds обозначает элементарный путь dσ, a угол является углом (см. рис. 9.3). Разложим силу на составляющие, направленные по касательной и главной нормали к траектории в точке М. Проекций силы на касательную и главную нормаль определяются так:

. (9.5)

Пользуясь первой формулой (9.5), выражению (9.4) можно придать вид

. (6)

Формула (9.6) показывает, что работу на перемещение ds совершает только касательная составляющая силы , работа же нормальной составляющей , перпендикулярной направлению скорости точки , равна нулю. Согласно (9.2), представим элементарную работу силы (рис. 9.5) как скалярное произведение:

, (9.7)

где - вектор элементарного перемещения точки М.

Обозначив проекции силы на координатные оси X, У, Z, a проекции вектора элементарного перемещения на оси dx, dy, dz, получим скалярное произведение векторов и в виде

. (9.8)

Формула (9.8) дает выражение элементарной работы через проекции силы на оси координат. Работа силы на конечном перемещении равна сумме ее работ на элементарных участках:

.

Рис. 9.5 Рис. 9.6

Пользуясь выражениями элементарной работы (9.3), (9.4), (9.6), (9.7) или (9.8) и переходя к пределу при стремлении числа участков к бесконечности, получаем следующие выражения работы силы на конеч­ном перемещении М₁М₂:

(9.9)

(9.10)

(9.11)

(9.12)

(9.13)