Формулу (г) можно представить в виде: .

Дифференцируя это выражение по t, по­лучаем необходимое для решения задачи четвертое уравнение:

. (д)

Из уравнения (д) имеем .

Момент инерции цилиндра относительно оси Сζ, .

Подставим эти значения в уравнение (в):

или .

Решив это уравнение совместно с уравнением (а), найдем и

,

откуда

.

Полученный результат показывает, что центр масс цилиндра движется равноускоренно с ускорением , не зависящим от веса цилиндра.

Для определения угла наклона плоскости, при котором начинается сколь­жение цилиндра, воспользуемся известным положением из статики:

.

Подставим значения и N:

откуда .

Таким образом, скольжение начнется при .

3. Дифференциальные уравнения сферического движения твердого тела

Кинетический момент твердого тела, совершающего сферическое движение относительно неподвижное точки (рис. 8.5), определяется по общей формуле:

. (8.5)

Рис. 8.5

После преобразований формулы (8.5), получим кинетический момент тела относительно точки О в виде

. (8.6)

Спроецируем правую и левую части уравнения (8.6) на оси х,у,z, проходящие через точку О,, получаем формулы для вычисления кинетических моментов тела, совершающего сферическое движение относительно осей х, у и z:

(8.7)

Если за оси координат приняты главные оси инерции в неподвижной точке О, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей равны нулю, т. е.

тогда формулы (8.7) принимают вид

. (8.8)

Дифференциальные уравнения сферического движения твердого тела (динамические уравнения Эйлера). При сферическом движении твердого тела его кинетический момент относительно неподвижной точки О изменяется согласно уравнению:

.

Свяжем с движущимся телом подвижные оси коор­динат ξ,η,ζ, обозначив орты этих осей (рис. 8.6). Разложим вектор на составляющие, имею­щие направление осей ξ,η,ζ :

, (8.9)

Рис. 8.6

Проек­ции вектора на оси ξ,η,ζ представля­ют собой кинетические моменты тела относительно этиx осей. Определим производную d /dt, учитывая, что орты — переменные векторы:

. (а)

После соответствующих преобразований получим равенство:

Этому векторному равенству соответствуют три равенства в про­екциях на подвижные оси ξ,η,ζ:

(8.10)

Если за подвижные координатные оси приняты главные оси инер­ции тела в точке О, то кинетические моменты тела относительно этих осей определяются по формулам (8.8):

В этом случае уравнения (8.11) принимают вид

(8.11)

где — моменты инерции тела относительно его осей инерции в точке О; — главные моменты внешних сил, приложенные к телу, относительно этих осей; — проекции вектора угловой скорости тела и на оси . Эти проекции можно определить по формулам Эйлера:

где - углы Эйлера, определяющие положение тела при, сферическом движении.

Дифференциальные уравнения (8.11) сферического движения твердого тела называются динамическими уравнениями Эйлера.

Интегрирование динамических уравнений Эйлера связано с боль­шими трудностями. Поэтому исследователи этого вопроса рассматри­вали лишь частные случаи сферического движения твердого тела.