Кроме того, введем обозначения

(5.26)

Величины D, Е, F называются центробежными моментами инерции твердого тела соответственно относительно осей у и z, z и х, х и у. Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отри­цательными и равными нулю. Пользуясь введенными обозначениями, получаем формулу для вы­числения момента инерции твердого тела относительно оси v в сле­дующем виде:

(5.27)

Формула (5.27) позволяет вычислить момент инерции тела относи­тельно любой оси v, проведенной через начало координат, если известны моменты инерции тела относительно осей координат A=J_x, B=J_y, C=J_z и центробежные моменты инерции тела относительно каждой пары координатных осей D=J_yz, E=J_zx, F=j_xy .

Эллипсоид инерция. Главные оси и главные моменты инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси v (рис. 5.5) опре­деляется по формуле (5.27):

Рассмотрим изменение момента инерции J_v, происходящее при из­менении направления оси v, т.е. при изменении углов α,β,γ. Для на­глядного изображения этого измене­ния отложим по оси v от точки О отрезок ON, длина которого

, (5.28)

где J_v - момент инерции тела отно­сительно оси v.

Рис. 5.5

Выразим направляющие косину­сы оси v через координаты х, у, z точки N и длину отрезка ON:

Подставим значения cos a, cos , cos  в выражение (5.27):

Разделим это уравнение на J_v:

. (5.29)

Рис. 5.6

Уравнение (5.29) определяет поверхность, по которой перемешается точка N, при изменении направления оси v при условии ON = . Это уравнение представляет собой уравнение поверхности второго порядка. Эта поверхность является эллипсоидом, так как расстояния от всех точек N до точки О, определяемые формулой (5.28), всегда конечны (J_v0). Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции. Центр эллипсоида находится в начале координат, так как уравнение (5.29) не содержит координат в первой степени. Три оси симметрии эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела в точке О, а мо­менты инерции относительно этих осей называются главными момента­ми инерции. Если за оси координат принять главные оси инерции (рис. 5.6, а), то в уравнении эллипсоида инерции исчезают члены, содержащие произ­ведение координат, и оно принимает вид

, (5.30)

где коэффициенты А, В, С имеют новые значения, равные моментам инерции тела относительно главных осей инерции в данной точке, а центробежные моменты инерции D, Е, F относительно каждой пары координатных осей равны нулю. Каждой точке тела соответствует определенный эллипсоид инерции, который характеризует моменты инерции тела относительно всех осей, проходящих через данную точку. Действительно, имея эллипсоид инерции для некоторой точки О (рис. 5.7, б), по расстоянию ON₁ от на­чала координат О до точки N₁, в которой какая-либо ось v₁ пересе­кает эллипсоид инерции, можно определить момент инерции тела отно­сительно этой оси по формуле (5.28):

.

Эллипсоид инерции, соответствующий центру тяжести тела, называется центральным эллипсоидом инерции, а его оси симметрии — главными центральными осями инерции.

Лекция 6

Динамика поступательного движения

твердого тела

1. Дифференциальные уравнения движения

механическоЙ системы

Рассмотрим систему и материальных точек (рис. 6.1). Массу каждой точки обозначим m_i и в каждую точку проведем из начала координат радиус-вектор . Приложенные к точкам силы разде­лим на внешние и внутренние. Равнодействующие приложенных к точке внешних и внутренних сил обозначим соответственно и . Составим основное уравнение динамики для каждой точки (i = 1, 2, ..., n):

(6.1)

Проецируем векторы обеих частей равенства (6.1) на оси x, y, z:

(6.2)

Для механической системы, имеющей п точек, получим 3п совмест­ных дифференциальных уравнений движения. Так как внутренние силы, приложенные к точкам системы, в боль­шинстве случаев остаются неизвестными, а число точек системы обычно велико, то эти 3п уравнений могут быть проинтегрированы лишь в исключительных случаях.

Теорема о движения центра масс механической системы. Рассмотрим движущуюся систему материальных точек , находящихся под действием системы внешних и внутренних сил (рис. 6.2). Положение центра масс системы С определяется равенством:

.

Уравнения движения точек этой системы имеют вид (6.1):

.

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Суммируем эти уравнения:

. (а)

Преобразуем левую часть равенства (а), учитывая (6.1):

.

Геометрическая сумма внутренних сил равна нулю. Уравнение (а) приобретает вид

или

, (6.3)

т. е. произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил.

Уравнение (6.3) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проецируя обе части векторного равенства (6.3) на оси х, у, z, получаем три уравнения в проекциях на оси координат:

(6.4)

где - проекции силы ; - проекции главного вектора сил на оси координат.

Уравнения (6.4) представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс. Из уравнений (6.3) и (6.4) следует, что внут­ренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс. Однако, не оказывая непосредственного влияния на движение центра масс, внутренние силы в ряде случаев являются причиной появ­ления внешних сил, приложенных к системе. Так, например, внутрен­ние силы, приводящие во вращение ведущее колесо локомотива, вызы­вают действие на него внешней силы сцепления, приложенной к ободу колеса.

В изменяемой системе материальных точек внутренние силы, вызы­вая их движение, изменяют их взаимное расположение, не изменяя положения центра масс всей системы. Отсутствие внутренних сил в уравнениях (6.3) и (6.4), выражающих теорему о движении центра месс. придает им большое практическое значение. Из кинематики известно, что поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной из его точек. Следо­вательно, решив задачу о движении центра масс тела как материальной точки массой, равной массе всего тела, можно определить поступатель­ное движение всего тела. Движение свободного твердого тела в общем случае можно разло­жить на поступательное движение вместе с центром масс и на сфери­ческое вокруг центра масс. По теореме о движении центра масс системы в этом случае можно определить только поступательное движение тела как движение материальной точки, а сферическое движение приходится рассматривать особо, пользуясь другими теоремами динамики. Таким образом, вопрос о том, можно ли рассматривать то или иное тело как материальную точку, решается в зависимости от характера движения тела, а не от его размеров. Так, например, при исследовании поступательных движений планет Солнечной системы их можно рассматривать как материальные точки, обладающие массами этих планет, но при изучении вращений планет вокруг их осей рассматривать их как точки нельзя.

Следствия из теоремы.

1. Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю, то центр масс механической системы находится в покое или дви­жется прямолинейно и равномерно,

Из уравнения (6.3) следует, что если =0, то =0, т.е. =const. При этом если начальная скорость центра масс равна нулю, то центр масс находится в покое. Если же начальная скорость ≠0, то центр масс движется прямолинейно и равномерно с этой скоростью.

2. Если проекция главного вектора внешних сия на какую-либо неподвижную ось остается все время равной нулю, то проекция центра масс механической системы на эту ось или неподвижна, или движется равномерно.

Из первого уравнения (6.4) следует, что если X^Е = 0, то

т.е. .

Если при этом в начальный момент = 0, то

,

т. е. координата х центра масс остается постоянной, а при проекция центра масс на ось х движется равномерно. Следствия из теоремы о движении центра масс системы выражают закон сохранения движения центра масс системы.

Теорема о движении центра масс системы, одна из основных теорем динамики, объясняет целый ряд явлений, которые приходится наблюдать. Рассмотрим некоторые примеры, поясняющие эту теорему и ее следствия.

Движение человека по горизонтальной плоскости. Если че­ловек начинает идти по гори­зонтальной плоскости, то перемещение его центра тяжести происходит под действием сил сцепления между подошвами его обуви и плоскостью. Эти силы всегда направлены в сторону движения человека и являются по отношению к нему внешни­ми. Они возникают при соответ­ствующем напряжении муску­лов человека, что создает иллюзию того, что движущими силами явля­ются напряжения мускулов, т. е. внутренние силы. Если бы сцепление отсутствовало, т. е. плоскость была бы гладкой, то человек не мог бы по ней идти.

Движение локомотива или автомобиля по горизонтальному пути. Внешними силами, вызывающими движение локомотива или автомобиля по горизонтальному пути, являются силы сцепления, приложенные к ведущим колесам в точках соприкасания их с рельсами или поверхностью дороги. Эти силы направлены в сторону движения локомотива или авто­мобиля. Действительно, к ведущему колесу со стороны двигателя приложен вращающий момент , стремящийся вращать колесо вокруг его оси (рис. 6.3, а). Такому вращению препятствует действующая со стороны пути сила сцепления . Эта сила заставляет колесо катиться, а локо­мотив или автомобиль - двигаться в ту сторону, куда направлена эта сила. Вращающий момент, действующий на колесо со стороны двига­теля, относится к внутренним силам и не может вызвать движение центра тяжести локомотива (автомобиля). Этот момент только вызывает появление внешних сил - сил сцепления. Локомотив, поставленный на абсолютно гладкие рельсы, под действием вращающего момента не сдвигается с места, так как при отсутствии сцепления ведущие колеса только вращаются вокруг своих осей (буксуют). Торможение поезда также вызывается внешними силами, приложенными к колесам со стороны рельсов.

Рис. 6.3

К ведомому колесу, не связанному с двигателем, приложена сила давления на ось , параллельная пути (рис. 6.3, б). В точке касания с рельсом к колесу приложена сила сцепления , препятствующая скольжению колеса под действием силы . При торможении модуль силы сцепления , направленной противоположно движению, возрастает и под действием этой силы поезд (автомобиль) получает замедление. Силы взаимодействия между тормозными колодками и колесами являются внутренними и не могут произвести торможение поезда (автомобиля), но эти силы вызывают увеличение модуля внешней силы . Если колеса начинают скользить, то сила сцепления превращается в силу трения скольжения. При равномерном движении поезда все действующие на него внешние силы уравновешиваются.

Действие пары сил на свободное твердое тело. Если приложить пару сил к свободному твердому телу, находящемуся в покое, то согласно первому следствию теоремы центр масс тела сохранит состояние покоя. Под действием этой лары сил тело начнет вращаться вокруг своего центра масс.

Откат орудия при выстреле. Внутренние силы взрыва, дей­ствующие в стволе орудия, при выстреле не могут привести в движе­ние центр масс системы орудие - снаряд. Если снаряд вылетает в гори­зонтальном направлении, то свободно стоящее орудие откатывается в противоположную сторону, так как при отсутствии горизонтальных внешних сил центр масс системы орудие — снаряд не может переме­щаться по горизонтали. В действительности имеется горизонтальная внешняя сила (реакция шероховатой поверхности, на которой находится орудие), но величина ее недостаточна, чтобы устранить это явление.