3 Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей че­рез его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Допустим, что задана ось Oz₁. Для доказательства теоремы про­ведем через центр масс тела С три взаимно перпендикулярные оси, из которых ось Сz параллельна заданной оси Oz₁, а ось Су лежит в плоскости параллельных осей Сz и Oz₁ (рис. 5.3, а, 6). Обозначим d расстояние между осями Сz и Oz₁. Для вычисления моментов инерции тела относительно осей Сz и Oz₁ опустим из каждой точки М_i рассматриваемого тела перпенди­куляры r_i и h_i на оси Сz и Oz₁. Выразим длины этих перпендику­ляров через координаты этих точек:

(a)

Определим моменты инерции тела относительно осей Сz и Oz₁:

Рис. 5.3

Применим зависимость (а):

или

(б)

Здесь — масса тела. Из формулы (6), определяющей координату у_с центра масс тела, получим

Так как у_с=0, то

Подставляя это значение в равенство (б), получаем зависимость, установленную теоремой:

(5.15)

Формула (5.15) показывает, что из совокупности параллельных осей ось, проходящая через центр масс тела, характеризуется наименьшим моментом инерции. Полярный момент инерции твердого тела относительно центра масс согласно (5.12)

Отсюда следует, что центр масс тела является noлюсом, отно­сительно которого полярный момент инерции тела имеет наимень­шее возможное значение.

Воспользуемся формулой (5.15) для установления зависимости между радиусами инерции твердого тела i_Сz и i_z1 относительно осей Сz и Oz₁. Согласно (5.14),

тогда

откуда

. (5.16)

4. Примеры определения моментов инерции масс тел простейшей формы

Вычислим моменты инерции некоторых однородных симметрич­ных тел относительно осей, проходящих через центры масс тел и являющихся осями симметрии. Ось, проходящая через центр масс тела, называется центральной осью.

Моменты инерции некоторых тел

Наименование	Схема тела	Момент инерции
Тонкий прямолинейный стержень
Кольцо (материальная окружность)
Тонкий круглый диск
Шар
Полый цилиндр
Однородный круглый конус
Сплошная прямоугольная пластина		,
Сплошной квадрат
Площадь эллипса		.
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольная пирамида		, ,
Прямой круглый цилиндр		,
Тор
Эллипсоид		, ,

Понятие о центробежных моментах инерции, главные оси. Проведем через некоторую точку О тела три взаимно перпендику­лярные оси х, у, z и произвольно направленную ось v, состав­ляющую с этими осями углы α, β и γ (рис. 5.4). Определим момент инерции J_v данного тела относительно оси v. Разобьем все тело на множество материальных точек М_i (i= 1,2, ..., n). Опустим из каждой точки М_i (х_i,y_i,z_i) перпендикуляры на ось v: (M_iK_i =h_i) и составим выражение момента инерции дан­ного тела относительно оси v:

. (5.25)

Рис. 5.4

Соединив точку с началом координат О, получим треуголь­ник ОМ_iК_i, из которого найдем

. (а)

где

,

а отрезок ОК_i - проекция отрезка ОМ_i на ось v. Заметим, что

.

Проецируем векторы левой и правой частей этого равенства на ось v: ОК_i= ОA_icos a + A_iB_i cos β + В_iМ_i cos γ, или ОК_i =x_i cos a + y_i cos β +z_i cos γ.

Подставим значения OM_i и OK_i в выражение (а):

.

Умножим сумму в правой части равенства на вели­чину (cos²а + cos² β + cos² γ), равную единице:

.

Подставим это значение в формулу (5.25):

В первые три слагаемых правой части входят множителями выра­жения (5.9), определяющие моменты инерции данного тела относи­тельно координатных осей. Обозначим их следующим образом: