Корни этого уравнения

(4.35)

При р₁=0

.

Подставляя значение р₂ в формулу (4.25), получаем максимальное значение амплитуды при данном сопротивлении:

. (4.36)

При малом значении n величина очень близка к величине k. Так, например, при n = 0.05k

= 0,9975k.

В этом случае

.

Таким образом, при малых значениях n при р= происходит резкое увеличение амплитуды A_c. С увеличением коэффициента n величина уменьшается. Максимум амплитуды вынужденных колебаний при наличии сопротивления существует только при условии k²-2n² > 0, т.е. при n < k .

При n > k максимум A_c не существует ординаты кривых (рис. 10) только уменьшаются при увеличении р/k. Так как А_с имеет максимум при р = , то по мере увеличения и эти значения р уменьшаются, т. е. точки максимума на линиях зависимости коэффициента динамичности η от p/k смещаются влево от прямой р/k=1.

Таким образом, влияние сопротивления на вынужденные колебания материальной точки выражается в сдвиге фазы колебаний относительно фазы возмущающей силы и в уменьшении амплитуды колебаний по мере увеличения сопротивления.

Лекция 5

ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1. Понятия о механической системе. Силы,

действующие на точки механической системы

Системой материальных точек (или механической системой) назы­вают такую совокупность точек, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных. Систему материальных точек, движение которых не ограничено никакими связями, а определяется лишь действующими на эти точки силами, называют системой свободных точек. Примером системы свободных точек может служить Солнечная система, планеты которой рассматривают в астрономии как материальные точки. Планеты сво­бодно перемещаются по орбитам, зависящим от действующих на них сил.Система материальных точек, движения которых ограничиваются наложенными на точки связями, называется системой несвободных точек. Примером системы несвободных точек может служить любой механизм или машина, у которых движения отдельных элементов ограничены связями.

Механическая система с неголономными сетями называется неголономной системой.

Механическая система с голономными связями называется голономной системой.

Механическое действие связей на точки системы выражается силами, называемыми реакциями связей. Таким образом, все силы, действующие на систему несвободных точек, можно разде­лить на задваемые (активные) силы и реакции связей.

Равнодействующую всех задаваемых сил, приложенных к точке М, несвободной механической системы, условимся обозначать , а равно­действующую реакций связей . Все силы, действующие на точки любой механической системы, как свободной, так и несвободной, можно разделить и по другому признаку: на внешние и внутренние силы.

Внешними называют силы, действующие на точки системы со сто­роны материальных точек, не входящих в состав данной системы.

Внутренними силами называют силы взаимодействия между материальными точками данной механической системы. Примером внут­ренних сил могут служить силы упругости, действующие между части­цами упругого тела, принятого за механическую систему.

Внешние силы условимся обозначать , а внутренние силы - .

Одна и та же сила может быть как внешней, так и внутренней в зависимости от того, какая механическая система рассматривается. Так, например, реакции подшипников вала являются внешними силами относительно вала. Эти же реакции относятся к внутренним силам, когда рассматривается вся установка вместе со станиной. Таким образом, любая сила, действующая на точку механической системы в соответствии с приведенными двумя классификациями сил, является внешней или внутренней и в то же время она является задаваемой силой или реакцией связи. Движение точек механической системы зависит как от внешних, так и от внутренних сил. На основании закона равенства действия и противодействия каж­дой внутренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению.

Из этого следует:

1. Главный вектор всех внутренних сил системы и суммы их проекций на координатные оси равны нулю:

, (5.1)

(5.2)

2. Главные моменты всех внутренних сил системы относительно любого центра и координатных осей равны нулю:

(5.3)

(5.4)

Хотя уравнения (5.2) и (5.4) имеют вид уравнении равновесия сил произвольно расположенных в пространстве, внутренние силы не урав­новешиваются, так как они приложены к различным точкам системы и могут вызывать перемещения этих точек относительно друг друга.

Центр масс системы материальных точек и его координаты. Каждая точка М_i механической системы имеет определенную массу m_i, а ее положение относительно системы отсчета Охуz в каждый момент времени определяется радиусом-вектором или тремя коорди­натами x_i,y_i,z_i. Центром масс системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой

, (5.5)

где - масса системы (рис. 5.1).

Проецируя векторы обеих частей равенства (5.1) на оси х, у, z, получаем формулы, определяющие координаты центра масс системы:

(5.6)

Рис. 5.1

Как видно из формул (5.5) и (5.6), положение центра масс си­стемы в каждый момент времени зависит только от положения и массы каждой точки этой системы. Центр тяжести тела или системы тел является центром масс этой системы. Для доказательства этого воспользуемся формулами, определяющими координаты центра тяже­сти тела:

Действительно, центр тяжести системы тел совпадает с их центром масс. Понятие «центр масс системы» применимо для любой системы материальных точек независимо от того, находится ли она под действием каких-либо сил или нет, тогда как понятие «центр тяжести»» применяется минимальное число стержней, обеспечивающих неизменяемость системы