17. Формули Френе для просторових кривих.

Гладкою параметризованою кривою називаємо неперервно-диференційовне відображення з дійсної прямої або її проміжка у R²(плоска крива) та R³(просторова крива). Крива задається двома або трьома числовими функціями, наприклад, r(t)=(x(t),y(t),z(t)). Дві параметризовані криві і називаємо еквівалентними і пишемо  . Якщо існує зростаюча в обидва боки бієкція (заміна координат), для якої r(t)=((t)) для всіх t[a,b]. Клас еквівалентних між собою параметризованих кривих називаємо кривою …

Зрозуміло, що заміна координат має бути такого самого порядку гладкості, як і дана крива. Параметризацію кривої називаємо натуральною, якщо для неї швидкість руху точки по кривій. (r(t) має одиничну довжину). Надалі вважаємо параметр натуральним і вважаємо .

Лема. Якщо для вектор-функції маємо , то для кожного t, f(t)f(t).

Доведення:  .  що для натурального параметра  . Позначимо - орт вектора , а k – довжину . Тоді -перша формула Френе. Вектор називаємо нормальним. Доповнимо і третім перпендикулярним до них вектором – бінормальним . , тоді Знайдемо похідну від , оскільки то  . Звідси лежить в площині, паралельній до і  = + . Оскільки  =0=const, то (  )=0  = –k. Позначимо =æ і назвемо k-кривизна, æ-скрут. Тоді =-k + æ - друга формула Френе. Знайдемо похідну від . æ )=æ -æ .

-æ - третя формула Френе. . Вектори , і утворюють базис простору і називаються натуральним тригранником. Це рухома ортогональна база, яка повзає по нашій кривій.