15. Способи побудови нових топологічних просторів: підпростори, топологічні суми, фактор-простори, добутки.

Озн. Якщо - фіксована підмножина множини , то слідом довільної підмножини на називаємо перетин . Для довільної топології на множині сліди всіх на довільній фіксованій підмножині утворюють деяку топологію на . Кажемо, що топологія індукована на топологією на . Зауважимо, що на може бути задана довільна топологія , не пов’язана з топологією на . Якщо ж збігається з індукованою топологією , то топологічний простір називається підпростором топологічного простору , а - топологією підпростору.

Твердження. Якщо - підпростір , а - підпростір , то - підпростір .

Доведення. З . Якщо - відкрита в , то , де множина відкрита в . Для неї існує така відкрита в множина , що . Тоді , отже, кожна відкрита в множина є слідом відкритої множини в . З другого боку, якщо відкрита в , то - відкрита в , а - відкрита в .

Диз’юнктне об’єднання з такою топологією називається топологічною сумою диз’юнктних просторів і позначається або . Топологічну суму диз’юнктних просторів вважаємо топологічною сумою довільних просторів.

Озн. Добуток сім’ї множин - це множина всіх таких функцій , що для кожного

Озн. Відношення еквівалентності на топологічному просторі задає сюр’єктивне фактор відображення з в фактор-множину . Множина з фактор-топологією, заданою та називається фактор-простором простору за відношенням і позначається або .

16. Перша і друга квадратичнa форми поверхні.

Параметризована поверхня – це довільне відображення з деякої області U R² у трьохвимірний простір R³. Поверхня задана трьома числовими функціями . Якщо ці функції належать до деякого класу гладкості, то вважаємо, що і поверхня належить до цього класу. Надалі вважаємо, що x, y, z, неперервно-диференційовні по u і v. Маємо частинні похідні . Це означає, що для u=u₀+u, v=v₀+v маємо . Але рівняння при фіксованих . Рівняння параметрично задає площину, яка проходить через покриття паралельно до і . Зокрема, рівність визначає площину, що проходить через точку поверхні паралельно до і . Отже, поверхня відхиляється від цієї площини на безмежно малу величину, меншу ніж першого порядку малості. Отже, ця площина є дотичною. Вивчимо відстань d між точками та , де u=u₀+u, v=v₀+v - безмежно малі. Але

+ . Вираз називають першою квадратичною формою і є наближеним значенням квадрата переміщення по поверхні при малій змінній параметра з точністю до малих порядку вищого, ніж другий. Кажуть, що перша квадратична форма визначає метрику на поверхні. З її допомогою можна знайти довжину будь-якої кривої на поверхні. Нехай в області U маємо криву u=u(t), v=v(t), atb. Якщо підставити цю криву у функцію , яка визначає поверхню, то отримаємо криву по поверхні. Тоді довжина кривої рівна: . Також можна обчислити площу поверхні: .

Друга квадратична форма

Поверхню можна наблизити точніше, якщо крім членів першого порядку використати член другого порядку – формула Тейлора. Визначимо відхилення точки поверхні від дотичної площини. Для цього оберемо нормальний вектор , . .

+ .

Отже, з точністю до нескінченно малих другого порядку відхилення точки від дотичної площини рівне - друга квадратична форма. Оскільки перша кв. форма є наближеним значенням квадрата відстані, вона є додатньовизначеною, тому . Рівність може досягатись тільки в точках де порушується гладкість поверхні (в особливих точках). Друга кв. форма не обов’язково є знаковизначеною і може мати різні властивості залежно від розташування поверхні відносно дотичної площини.