13. Неперервні відображення топологічних просторів.

Озн. Відображення топологічного простору в топол. простір назив. неперервним в точці , якщо для кожного околу існує окіл , для якого . Відображеня, яке не є неперервним в точці називається розривним в ній.

Твердж. Якщо топології і на та породжені деякими метриками і , то відображення неперервне в т. відносно і т. і т. тоді, коли неперервне в відносно і . Озн. Відображення топологічного простору в топологічний простір назив. неперервним, якщо воно є неперервним в кожній точці .

Озн. Відображення топологічного простору в топологічний простір назив. неперервним, якщо прообраз кожної відкритої множини є відкритим в .

Твердж. Відображення топологічних просторів є неперервним т. і т. тоді, коли виконано з рівносильних тверджень: 1) прообраз кожної замкненої множини замкнений в ; 2)для кожної множини виконано .

Довед. Те, що перше твердження рівносильне неперервності, випливає з того, що . Доведемо, що з першого твердження випливає друге, а з другого – неперервність. Нехай неперервне, і – довільна множина в . Оскільки , то міститься в прообразі замкненої множини , який є теж замкненим. Отже, й замикання міститься в цьому прообразі, тому . Якщо ж включення виконано для кожної , то оберемо довільну точку , окіл та покладемо . Оскільки , то точка не належить до . Згідно точка не належить . Отже, –окіл, який містить , не містить точок з і тому відображення в . Таким чином, відображення неперервне в кожній точці . □

Твердж. Нехай –відображення топологічних просторів, і в обрано передбазу . Тоді неперервне т. і т. тоді, коли прообрази при всіх елементів відкриті.

Довед. Оскільки всі елементи відкриті, то з неперервності випливає, що їх прообрази теж є відкритими. Якщо ж відкриті всі прообрази елементів , то для довільних прообраз теж відкритий. Оскільки елементи вигляду , , утворюють базу в , а кожна відкрита множина є об’єднанням сім’ї елементів , , то – теж відкрита множина.

Твердж. та – відображення топологічних просторів. Тоді: 1) Якщо неперервне в точці , а –в точці , то композиція неперервна в . 2) Якщо та неперервні, то композиція теж неперервна.

Твердж. Якщо –неперервне відображення топологічних просторів, і та – підпростори, для яких , то обмеження відображення теж є неперервним.

Довед. Кожна відкрита множина має вигляд , де – відкрита в . Тоді – за неперервністю і означення топології підпростору відкрита в .

14. Компактні простори і множини. Збереження компактності замкненими підпросторами і неперервними образами. Компактність відрізка. Компакти у скінченновимірних евклідових просторах.

Лема Гейне Бореля: з кожного покриття відкритими множинами замкненої і обмеженої множини в просторі можна обрати скінченне під покриття.

Топологічний простір називається компактним, якщо з кожного відкритого покриття простору можна обрати скінченне підпокриття . Компактними є всі простори зі скінченною кількістю відкритих множин, зокрема антидискретні простори та простори зі скінченною кількістю точок.

Твердження. Відрізок =[0,1] є компактним.

Доведення. Нехай - відкрите покриття відрізка. Множина тих точок з відрізка, що з можна вибрати скінченне під покриття відрізка [0,а] не порожня, оскільки містить точку 0 і обмежене згори числом 1. Отже, ця множина має точну верхню грань . Число лежить в деякому околі разом з базовим околом .за означенням точної верхньої грані в цьому околі міститься деяке , для якого з можна вибрати скінченне підпокриття

відрізка [0,а]. Отже, якщо , то - скінченне підпокриття покриття відрізка , де , і - суперечність. Отже, і - скінченне підпокриття відрізка .

Озн. Множина топологічного простору називається компактною, якщо з кожного покриття множини відкритими в множинами можна обрати скінченне підпокриття .

Твердження. Множина в топологічному просторі є компактною тоді і тільки тоді, коли вона є компактним простором в індукованій з топології.

Доведення. Нехай підпростір компактний, і - покриття в відкритими в множинами. Тоді сім’я слідів є покриттям множинами, відкритими в .за умовою, з можна обрати скінченне підпокриття . Тоді ті множини , для яких утворюють скінченне підпокриття множини .

Якщо ж множина компактна, то елементи кожного відкритого покриття простору мають вигляд , де множини відкриті в і утворюють покриття множини . Тоді з можна обрати скінченне підпокриття множин . Отже, - скінченне підпокриття покриття простору , який є компактним.

Твердження. Замкнена підмножина компактного простору є компактною.

Доведення. Нехай - покриття множини відкритими в множинами. Тоді - відкрите покриття з якого можна обрати скінченне підпокриття . Оскільки не перетинається з , то - скінченне підпокриття покриття множинами .

Твердження. Неперервний образ компактного простору є компактним.

Доведення. Нехай - неперервне відображення компактного простору на простір , і - відкрите покриття . Тоді за неперервністю сім’я - відкрите покриття , з якого оберемо скінченне підпокриття . Оскільки, , то і отримуємо скінченне підпокриття .

Як узагальнення можна сказати, що неперервне відображення компактного простору в гаусдорфів простір є замкненим, тобто відображає замкнені множини в замкнені.

Озн. Ком пактом називається компактний гаусдорфів простір.

Кожен компакт є нормальним простором.