10. Поняття топології і способи її задання: метрика, база, передбаза.

Топологією на множині Х наз. довільна сім’я її підмножин, для якої виконано умови: 1) множини та Х належать до ; 2) для довільних перетин ; 3) для кожної сім’ї об’єднання її елементів належить до .

Пару (Х, ), де Х – множина, – топологія на Х, наз. топологічним простором. Елементи наз. відкритими множинами в просторі (Х, ). Доповнення до відкритих множин наз. замкненими множинами в топології .

Твердження. Множини в (псевдо)метричному просторі (Х,d), відкриті відносно (псевдо)метрики d, утворюють деяку топологію Множини, замкнені відносно d, збігаються з множинами, замкненими в .

Отже, один з способів отримати топологію на множині Х – обрати на Х (псевдо)метрику d та утворити сім’ю з усіх множин, відкритих відносно d. Кажемо, що топологія породжується (псевдо)метрикою d.

Простий спосіб утворити топологію на множині Х полягає у тому, щоб включити в всі підмножини в Х, оголосивши всі множини відкритими. Така топологія наз. дискретною топологією на Х.

Якщо і – топології на Х, і , то наз. меншою або слабшою, – більшою або сильнішою. Дискретна топологія є найсильнішою з топологій на Х. Інша крайність – антидискретна топологія , яка за означенням топології міститься в кожній топології на Х, і, отже, є найслабшою. Оскільки в метричному просторі кожна точка є замкненою множиною, що не виконується для антидискретної топології, то ця топологія не може бути заданою метрикою, але породжується нульовою псевдометрикою .

Сім’я В підмножин топологічного простору (Х, ) наз. його базою або базою топології , якщо всі елементи В відкриті (тобто ), і відкрита кожна множина є об’єднанням деякої сім’ї F елементів В.

Твердження. Сім’я В підмножин множини Х є базою топології на Х тоді і тільки тоді, коли , і для кожної точки х довільної відкритої множини існує , для якого .

Отже, кулі утворюють базу топології, породженої метрикою. Кожна топологія є (тривіальною) базою для себе. Всі відкриті інтервали (a,b), a<b, утворюють базу стандартної топології на R. Сім’я множин Р наз. передбазою топології , якщо всі скінченні перетини елементів Р утворюють деяку базу В топології . Сім’я всіх променів вигляду та , де R, є передбазою стандартної топ-ї на R.

Твердження. Нехай сім’я замкнених підмножин множини Х задовольняє умови: 1) множини та Х належать до ;

2) для довільних F,G об’єднання F G ;

3) для кожної сім’ї перетин її елементів .

Тоді сім’я всіх доповнень X\F до елементів F є топологією на Х.

Доведення. Застосовуємо формули F G F G , F F .

11.Аксіоми відокремленості.Гаусдорфові, регулярні та нормальні простори.

А ксіома . Для кожних точок , , існує відкрита множина U, для якої , або . Х

х у U

Аксіома .Для кожних точок , , існує відкрита множина U, для якої , Тоді і для у існує така відкрита множина V, що .

Х З , але з не випливає .

х U V у

А ксіома . Для кожних точок , , існують відкриті множини U і V, для яких і .

Х З випливає , але не навпаки

х у Топологічні простори, в яких виконано , наз. гаусдорфовими.

U V Околом множини А в топологічному просторі Х наз. будь-яку

Відкриту множину , яка містить А.

Аксіома . Для кожної точки , яка не належить замкненій множині , існують відкриті множини U та V, для яких і .

Х Дійсно, нехай топологія на Х задається метрикою d, і точка х

не належить замкненій в Х множині F. Доповнення Х\F

х U V F відкрите і містить х, отже, існує куля . Куля

та об’єднання відкриті неперетинні

і містять відповідно х і F.

Аксіому можна сформулювати інакше: для кожного околу U довільної точки існує окіл , для якого .

Твердження. З аксіом і випливає .

Дов. Нехай в Х виконано і , і – довільні точки Х. Принаймні для однієї з них, наприклад, для х, існує окіл , для якого . Множина замкнена і не містить х, отже, існують відкриті неперетинні , . Тоді , , , тобто виконано .

Топологічний простір Х, в якому виконано і (а, отже, та ), наз. регулярним. Не всі гаусдорфові простори є регулярними.

Аксіома . Для довільних замкнених множин , які не перетинаються, існують неперетинні відкриті множини та .

Х Аксіому можна сформулювати іншим способом: для кожного

околу U довільної замкненої множини існує окіл ,

F G для якого .

U V Приклад анти дискретного простору доводить, що з не

випливає , чи . Якщо ж в топологічному просторі Х виконано та (а тоді й , , ), то Х наз. нормальним простором. Всі метризовані простори є нормальними