8. Внутрішні точки множини в метричному та топологічному просторі.

Відкриті множини і внутрішність множини. Межа множини.

Нехай довільний метричний простір.Точка х називається внутрішньою точкою множини А в метричному просторі , якщо деяка куля міститься в А. Тоді ясно, що . Множина в метричному просторі називається відкритою в , якщо кожна її точка є внутрішньою.

Можна дати рівносильне означення: Множина в метричному просторі називається відкритою, якщо доповнення до неї є замкненим.(Множина наз. замкненою в , якщо вона містить всі свої точки дотику.)

З нерівності трикутника що кожна куля в є відкритою, а замкнена куля є замкненою множиною. Дійсно, якщо , то і для з , . Отже і кожна точка є внутрішньою, тобто є відкритою. Доведення для аналогічне.

Твердження В кожному метричному просторі :1) є відкритими множинами.

2)перетин кожних двох відкритих множин є відкритим.

3)об’єднання довільної сімї F відкритих в множин є відкритим.

Доведення 1) із означення відкритої множини.Якщо в пункті 2) точка належить то вона є внутрішньою для , і існують кулі . Тоді куля , лежить в , і є внутрішньою і для , –відкрита. 3)Якщо сімї відкритих множин, то для деякої , звідки і кожна точка є внутрішньою.

З тверд. що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.

Твердження Множина всіх внутрішніх точок довільної множини А в є найбільшою з відкритих в множин, які містяться в А.

Цю множину наз внутрішністю множини А в і познач. . Різницю , тобто множину точок, які є точками дотику для А, але не є внутрішніми в А, наз. межею множини А і позн. або . Межа завжди є замкненою множиною, оскільки .

Пара , деХ–множина, –топологія на Х наз топологічним простором. Околом точки х в топологічному просторі Х наз відкриту в Х мн-жину, яка містить х. Точку х наз внутрішньою в мн-жині А, якщо вона лежить в А разом з деяким своїм околом.

Твердження Множина А є відкритою в топологічному просторі Х тоді і тільки тоді,коли кожна точка є внутрішньою в А.

Доведення Якщо А відкрита в Х, то вона і є околом кожної точки ,який міститься вА Отже, всі точки А є внутрішніми. Якщо всі точки А– внутрішні,то обєднання околів, які лежать в А, для всіх точок , рівне А, звідки А – відкрита.

Твердження Нехай В – база .Точка є внутрішньою в множині А тоді і тільки тоді, коли в А міститься деякий окіл , який належить В.

Для топологічного простору означення внутрішності та межі множини повторюються.

9.Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші

Пара ,де Х–довільна множина,а –метрика на Х,називається метричним простором Відображення метричних просторів, яке зберігає відстані, має властивість-неперервність.

Озн (за Гейне) Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної послідовності вХ, яка збігається до точки , послідовність збігається до в . Іншими словами, неперервне в точці , коли при послідовному наближенні до значеня теж збігається до . Відображення, яке не є неперервним в точці , назив розривним в цій точці. Озн Відображення метричних просторів називається неперервним, якщо воно є неперервним в кожній точці . Для неперервності збереження відстаней не є обовязковим. .Достатньо,щоб вик: .Таке відображення назив нерозтягуючим. Якщо нерозтягуюче і , то ,звідки , отже, неперервне в кожній точці . Озн (за Коші) Відображення метричних просторів називається неперервним в точці ,якщо для довільного таке ,що для всіх , для яких , вик . Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН: Відображення метричних просторів називається неперервним в точці , якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в , образ якої міститься в . Інакше кажучи, неперервне в , якщо образи точок, достатньо близьких до , є близькими до . Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою , а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.

Твердження Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.

Доведення Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо,що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі , , міститься , для якого . Позначимо ту точку з , образ якої не лежить в , як . Оскільки , то при , але , тому не прямує до і не є неперервним в за Гейне – отримано суперечність.

Нехай тепер неперервне в точці за Коші, і послідовність прямує до . Для кожного таке , що з випливає . За означенням границі послідовності для цього таке , що для всіх маємо . Отже, для всіх : і послідовність прямує до .Отже, –неперервне

в точці за Гейне.

Озн Відображення метричних просторів називається рівномірно неперервним, якщо для довільного таке в Х, що для всіх , для яких , вик .

Видно, що з рівномірної неперервності випливає неперервність.