24. Класи інтегровних функцій.

1)Неперерв. на ф-ції ; f(x) C[a,b]

Доведення. Перевір. необх. і дост.умови Рімана. . =max x 0

(1’) ; (1’) на мові звучить так: Щоб f(x) була інтегрована за Ріманом на f(x) необх. і дост.,щоб для >0, ,що як тільки 0 (*)-це необ. дост.умова. w = ;w -коливання.

x , f(x)

1. m

2. в точ.x і x

3. Якщо f(x) непер. на ,то вона рівномір. непер.

Наслідок: Якщо f(x) ,що якщо розбити відрізок на частин.< , то коливання w < . Цей наслідок використ.для доведення.

>0, >0, < , тобто max < < , <

Ми одержали (*),а це необх. і дост. у.,щоб ф-ція була інтегрована.

2клас.f(x), x і монотонна. Монотон.ф-ції можуть мати скінч.або злічен.кількість розривів І роду,тому це не підходить до 1-го класу.

А)неспадна: перевір. викон.умови (*). розіб’єм на частини. a=x <…<x

w ; (2); >0, 0< <

< (3) В (3) підстав. (2).

<

<

3 клас f(x), x , неперерв.за винятком скінч.кільк.точок в яких є розрив І роду.В x ф-ція f(x) має стрибки,а для точ.x , i=1…k f(x)-непер.Покажемо,що f(x) інтегр. на . < , (x < ; , …, -на цих відрізках ф-ція непер.і на кож.відрізку викон.наслідок зтеор. Кантора,то по >0, >0,що коли розбити на частини j-відрізок < ,то w < ; min і зробимо розбиття на частини,де

< Може бути,що частинки лежать в -околі точки,тому:

В цих сумах не викон.наслідок теореми Кантора,тому w замінимо на -коливання, f(x) на . <2

< < ; ( < ; < ; w < ; < і буде виконуватись

(*) Ми виділили 3 основні класи ф-цій,які є інтегровані.

25.Властивості означених інтегралів

1.

2. Якщо функція f інтегровна на відрізку [a,b], то вона інтегровна на будь-якому відрізку [a*,b*] [a,b].

3. Нехай a c b. Якщо функція f інтегровна на відрізках [a,с] і [с,b], то функція f інтегровна і на відрізку [a,b], причому = + .

4. Якщо функції f і g інтегровні на відрізку [a,b], то їх сума f+g теж інтегровна на цьому відрізку і = + .

5. Нехай функція f інтегровна на відрізку [a,b], і c – стала, тоді функція cf теж інтегровна на цьому відрізку і =с

6. Нехай функції f(x) i g(x) інтегровні на відрізку [a,b], тоді їх добуток f(x)g(x) теж інтегровний на цьому відрізку.

7. Якщо функція f невід’ємна і інтегровна на відрізку [a,b], то 0.

8. Якщо функції f і g невід’ємні і інтегровні на відрізку [a,b] і для всіх [a,b], то .

9. Для будь-якої функції f покладемо за означенням , а для функції f інтегровної на відрізку [a,b], – , a<b.

10. Якщо функція f інтегровна на відрізку [a,b], то і функція |f| теж інтегровна на цьому відрізку і , a<b.

26. Інтеграл зі змінною верхньою межею, властивості. Формула Ньютона-Лейбніца.

Якщо функція f(x) інтегровна в проміжку [a, b] (a≷b), то вона інтегровна і на проміжку [a, x], де x є довільне значення з [a, b]. Замінивши границю b визначеного інтеграла змінною х, отримаємо вираз , (1) який є функцією від х. Ця функція називається інтегралом зі змінною верхньою межею і має такі властивості:

1. Якщо функція f(x) інтегрована на [a, b], то буде неперервною функцією від х в тому ж проміжку.

Доведення. Оскільки f інтегрована на [a, b], то f обмежена, тобто існує M>0: |f(x)|≤M. Нехай x [a, b] і x+ x [a, b], . Функція , тоді . Застосувавши до цього інтегралу теорему про середнє значення ; (2) тут міститься між точними границями функції f(x) в проміжку [x, x+h], а отже, тим більше між (постійними) її границями в основному проміжку [a, b]. Якщо спрямувати тепер h до нуля, то, очевидно або , що й доказує неперервність функції .

2. Якщо припустити, що функція f(t) неперервна в точці t=x, то в цій точці функція має похідну, яка дорівнює f(x), тобто .

Доведення. Дійсно, із (2) маємо , або . Але, зважаючи на неперервність функції f(t) при t=x, для будь-якого знайдеться таке , що при для всіх значень t в проміжку [x, x+h]. В такому випадку виконуються нерівності , так що . Отже, , що й треба було довести.

Ми прийшли до такого висновку: для неперервної в проміжку [a, b] функції f(x) завжди існує похідна; прикладом її є визначений інтеграл (1) зі змінною верхньою межею.

Основна формула інтегрального числення (Формула Ньютона-Лейбніца).

Для неперервної в проміжку [a, b] функції f(x) інтеграл (1) є первісною функцією. Якщо F(х) є довільна первісна для f(x) функція, то . Сталу С можна визначити, поклавши тут х=а, бо ; будемо мати , звідси . Отже, . Зокрема, при х =b отримаємо . (А) – це основна формула інтегрального числення.

Отже, значення визначеного інтеграла визначається як різниці двох значень, при х =b і при x=a, будь-якої первісної функції.

Якщо застосувати до інтегралу теорему про середнє і згадати, що , то отримаємо .