10. Основні визначні границі
1)
.Довед.
а)
,
оскільки дуга х
прямує до нуля, то можна вважати, що
.
В крузі радіуса
побудуємо кут
і нехай
-довжина перпендикуляра, опущеного з
т.В
на радіус
і
- відрізок дотичної до кола, проведеної
в т.А
до точки перетину її з продовженим
радіусом
.
Тоді маємо:
.
Оскільки
і
,
то отримуємо
,
тобто
.
Поділимо всі члени останньої подвійної
нерівн. на додатню величину
,
отримаємо
,
або
.
Нехай
,
тоді
.
Таким чином з останньої нерівн. випливає,
що ф-ція
лежить між двома ф-ціями, які мають
спільну границю, що=1. На основі теореми
про проміжну ф-цію отримуємо
(*).
б) Нехай
,
маємо
,
де
.
Тому
(**).
З формул (*) і (**) випливає потрібна
рівність.
2)
.
Довед.
Користуючись біномом Ньютона, отримаємо
або
.(1)
При
всі доданки в ф-лі (1) додатні, причому
при збільшенні показника
збільшується к-сть доданків і кожен
доданок стає більшим. Отже, послід.
починаючи з найменшого значення зростає
разом з показником
. З іншої сторони, кожен доданок у правій
частині ф-ли (1) збільшиться, якщо всі
множники знаменників замінити на 2,а
кожну з дужок замінити 1. Тому
. Знайшовши, суму геометричної прогресії
маємо
.
Звідси
. Отже, при
члени послід.
зростають, але залишаються більшими за
2 і меншими за 3. Тобто
,
де
.
Аналогічно можна довести, що
.3)
.Довед.
Аналогічно виводиться, що
.