2. Краткие теоретические сведения

2.1 Дифференциальные уравнения движения точки

Рассмотрим движение материальной точки М массой m под действием приложенных к ней сил , , …, (рис.1). Подставляя ускорение точки при векторном задании движения в основное уравнение динамики , получаем дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде.

И спользуя связь радиуса-вектора с координатами и вектора силы с проекциями: , , получаем . После группировки векторное соотношение распадается на три скалярных уравнения:

–

Рисунок 1

дифференциальные уравнения движения точки в координатном виде. Этот результат может быть получен проецированием векторного дифференциального уравнения.

Если пользоваться описанием движения в естественной форме, то нужно спроецировать обе части векторного равенства на естественные координатные оси (подвижные) - касательную, главную нормаль и бинормаль:

Используя кинематические выражения для определения проекций ускорения на касательную и главную нормаль, получим:

; -

естественные уравнения движения материальной точки.

2.2 Две основные задачи динамики точки

Обе задачи решаются с помощью основного уравнения динамики и проекции его на координатные оси. Если рассматривается движение несвободной точки, то, как и в статике, используется принцип освобождаемости от связей. В результате реакции связей включаются в состав сил, действующих на материальную точку. Решение первой (прямой) задачи связано с операциями дифференцирования. Решение второй (обратной) задачи требует интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений, и это значительно сложнее, чем дифференцирование. Обратная задача сложнее прямой задачи.

Первая (прямая) задача динамики. Зная массу точки m и уравнения ее движения , , , найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке.

Эта задача решается следующим путем:

, , , , , ,

П ример 1.

Материальная точка массой m=6 кг движется в горизонтальной плоскости OXY c ускорением . Определить модуль силы, действующей на нее в плоскости движения.

Решение: , , (Н).

Пример 2. Кабина весом G лифта поднимается тросом с ускорением a . Определить натяжение троса.

1

Рисунок 2

. Выбираем объект (кабина лифта движется поступательно и ее можно рассматривать как материальную точку).

2. Отбрасываем связь (трос) и заменяем ее реакцией R.

3. Составляем основное уравнение динамики:

4. Проецируем основное уравнение динамики на ось y:

.

Определяем реакцию троса: .

Определяем натяжение троса:

При равномерном движении кабины и натяжение троса равно весу: T = G. При обрыве троса T = 0 и ускорение кабины равно ускорению свободного падения: .

Вторая (обратная) задача динамики. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу, а также начальное положение точки и ее начальную скорость, получить уравнения движения точки.

Для решения этой задачи необходимо в левую часть дифференциальных уравнений движения точки подставить значение массы, а в правую часть – суммы проекций приложенных сил и полученные уравнения дважды проинтегрировать по времени. При интегрировании каждого дифференциального уравнения движения точки появляются две постоянные, а потому при интегрировании трех дифференциальных уравнений движения точки будет шесть постоянных интегрирования ( ):

Значения этих постоянных определяют по начальным условиям движения: значениям трех координат точки и проекций ее скорости на три оси в некоторый момент времени, обычно (но не обязательно) в начальный момент.

Пусть в начальный момент времени известны координаты точки и проекции ее скорости на оси, т.е.

.

Эти значения подставляют в уравнения, представляющие общие решения дифференциальных уравнений движения точки. Из этих уравнений определяют постоянные интегрирования в зависимости от начальных координат и проекций начальной скорости. Подставляя найденные значения постоянных интегрирования в общее решение дифференциальных уравнений движения точки, получают уравнения движения точки в виде:

, .

Эти уравнения показывают, что под действием одной и той же силы материальная точка может совершать разные движения, определяемые начальными условиями движения.

Процесс интегрирования дифференциальных уравнений движения точки разберем на конкретных примерах. Рассмотрим следующие случаи изменения силы, действующей на точку:

- сила постоянна по модулю и направлению;

- сила зависит от времени;

- сила зависит от положения точки в пространстве;

-сила зависит от скорости точки.

Решение второй задачи динамики состоит из этапов:

1. Составление дифференциальных уравнений движения материальной точки согласно условиям задачи.

2. Интегрирование полученной системы дифференциальных уравнений.

3. Определение значений постоянных интегрирования.

4. Получение закона движения.